Практические занятия (пз)

ПЗ 1. Элементы комбинаторики.

а). Принцип перечисления. Пусть множество Е₁ содержит n₁ элементов, множество Е₂  n₂ элементов, ..., множество Е_k  n_k элементов. Обозначим через n количество способов выбора по одному элементу из каждого множества. Очевидно

n = n₁n₂n_k .

Задача 1.1. Найти количество четных двузначных чисел.

Решение. В качестве 1-й цифры двузначного числа можно взять любое из чисел 1,2,...,9, т. е. n₁=9. Второй цифрой может быть 0, 2, 4, 6, 8, т. е. n₂=5. Тогда n= n₁n₂=95=45.

б). Размещения. Пусть множество E содержит n элементов. Размещениями из n элементов по k (kn) называются группы по k элементов из E, различающиеся либо элементами, либо порядком следования элементов. Символом обозначается количество размещений, которые можно составить из n элементов по k. Для нахождения этого числа можно представить себе, что имеется k упорядоченных мест, которые следует заполнить элементами множества E. Тогда представляет собой количество способов расположения n элементов по k местам. Приведем рассуждения, позволяющие найти выражение для . На 1-е место можно поставить любой из n элементов. Если 1-е место заполнено, то 2-е место можно заполнить (n–1) способами и так далее. Для заполнения k-го места остается n–(k–1) = n–k+1 способов. По принципу перечисления

= n(n-1)(n-2)(n-k+1),

например,

Задача 1.2. В профгруппе 20 человек. На собрании следует избрать председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно сделать.

Решение. Каждая тройка лиц, избирающихся на указанные должности является размещением, так как порядок в этой тройке «председатель–заместитель–казначей» играет существенную роль. Искомое число способов 

в). Перестановки. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n. Символом P_n обозначается количество перестановок из n элементов:

P_n = = n(n-1)(n-2)1 = n!

Задача 1.3. Сколькими способами можно смоделировать флаг из четырех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал белого, красного, синего и зеленого цветов.

Решение. Число способов равно числу перестановок, которые можно составить из 4-х элементов, т. е. 4!=24. 

г). Сочетания. Пусть исходное множество E содержит n элементов. Любой набор из n элементов по k без учета порядка выбора называется сочетанием из n элементов по k. Количество таких наборов обозначается символом и называется числом сочетаний из n по k. Если в каждом сочетании сделать всевозможные перестановки, получим все размещения, которые можно составить из n элементов по k, т. е. справедлива формула

.

Задача 1.4. В двух бригадах по 5 рабочих. Для заготовки картофеля из каждой бригады следует выделить двух рабочих. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Из каждой бригады можно выделить различных пар рабочих. По принципу перечисления, сельскохозяйственный отряд можно сформировать 1010=100 способами. 

Упражнение. Доказать следующие формулы:

Задачи для самостоятельного решения

1. В группе 15 девушек и 10 юношей. Из группы надо выбрать делегацию таким образом, чтобы среди делегированных оказалось 3 девушки и 2 юноши. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 20475.

2. Секретный замок состоит из трех дисков, разбитых на 6 секторов. Сколькими способами можно установить код замка? Ответ: 216.

3. Сколько существует вариантов составления расписания занятий на один день (три пары) при выборе из 9-ти дисциплин? Ответ: 504.

4. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи белого и черного цвета так, чтобы: а) они «били» друг друга; б) не «били» друг друга? Ответ: а) 896; б) 3176.

5. Сколькими способами могут разместится 6 человек: а) на скамейке; б) за круглым столом? Ответ: а) 720; б) 120.

6. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по пяти лункам (в каждую лунку может поместиться любое количество шариков). Сколько существует различных способов распределения семи шариков по пяти лункам? Ответ: 78125.

7. Из цифр 1, 2, .... 9 составляются двузначные числа. Сколько двузначных чисел можно составить при условии, что первая цифра меньше второй? Ответ: 64.

8. Сколькими способами можно расставить 5 различных книг на полке, чтобы две конкретные книги стояли рядом? Ответ: 48.

9. При встрече 7 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий? Ответ: 21.

10. На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем каждый из шахматистов сыграл с остальными по одной партии. Сколько шахматистов участвовало на турнире? Ответ: 10.

ПЗ 2. Непосредственный подсчет вероятности.

а) Основные теоретические сведения, такие как опыт, пространство элементарных событий., событие содержаться в лекции 1 (п. 1.1). Напомним обозначения: – пространство элементарных событий; A, B,... – события (подмножества из ).

б). При классическом определении вероятности (лекция 1, п. 1.2) дополнительно предполагается, что все элементарные события равновозможные. Элементарные события, из которых составлено событие A, называются исходами, благоприятствующими A.

Определение. Вероятностью события A называется число P(A), равное отношению числа исходов m_A, благоприятствующих событию A, к числу n всех возможных исходов данного опыта, т.е.

Обобщением этой формулы на случай непрерывного множества элементарных исходов  является геометрическая вероятность. Пусть  – фигура на плоскости, ограниченная кусочно гладкой кривой, S() – ее площадь. Опыт состоит в выборе точки из , причем событиями в этом опыте будут фигуры из . Если все точки  считать равновозможными, то вероятность события A пропорциональна площади S(A), т. е.

.

Если множество  расположено на прямой или в пространстве, то вместо площади следует брать длину или объем.

Если опыт не сводится к равновозможным исходам, то вероятность события определяют опытным путем (статистически).