Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса

1. Составить расширенную матрицу системы линейных уравнений (1) и с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.

2. Провести исследование:

а) если , то система (1) несовместна;

б) если , то система (1) совместна. При этом,

если r=n, то система (1) определена,

если r<n, то система (1) неопределена.

3. Найти решение системы уравнений, которая соответствует полученной ступенчатой матрице.

Задание 1. Вычислить А+В, А-В, n∙А, ^tB, А∙В, В∙А:

, , n=5.

Решение:

Пусть , . Тогда,

ввиду определений 2.6 и 2.7 (см. стр.35): ;

; . По определению 2.9, . Согласно определению 2.8, ∙ =

= ;

=

= .

Таким образом, получаем

,

,

, ,

∙ =

= ,

=

= .

Ответ: , , ,

, , .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы А из задания 1 двумя способами: а) по правилу Саррюса; б) разложением по ряду.

Решение:

а) Согласно правилу Саррюса (см. стр. 40), определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых:

• • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

Таким образом,

б) Вычислим определитель матрицы А с помощью разложения определителя по ряду. Согласно формуле (1) (см. стр. 40), разложение определителя матрицы А по i-й строке имеет вид:

Согласно формуле (2) (стр. 40), разложение определителя матрицы А по j-му столбцу имеет вид:

Отметим, что A_ij – алгебраическое дополнение к элементу а_ij в определителе (см. стр. 40, определение 2.15). По теореме 2.1 (стр. 41) A_ij вычисляют по формуле A_ij=(-1)^{i+ j} ∙M_ij , где M_ij – минор к элементу а_ij в определителе (см. стр. 41, определение 2.16), i = , j = .

Вычислим определитель матрицы А, например, с помощью разложения по 3-й строке:

Отметим, что (см. стр. 39).

Ответ: =-43.

Задание 3. Для матрицы В из задания 1 найти обратную матрицу

В^-1 двумя способами: а) с помощью элементарных преобразований;

б) с помощью алгебраических дополнений.

Решение:

Предварительно установим, является ли матрица В обратимой. Ввиду теоремы 2.2 (см. стр. 41), достаточно найти определитель матрицы В:

Так как , то, согласно теореме 2.2, матрица В^-1 существует.

а) Вычислим матрицу В^-1 с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем расширенную матрицу вида и с помощью элементарных преобразований (см. стр. 43, определение 2.25) приведем подматрицу В в ней к единичной матрице E_n. Тогда в правой части полученной расширенной матрицы будет находиться матрица В^-1:

∼ …∼ .

Таким образом,

∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼ ∼

∼ . Отсюда следует, что В^-1= , т.е.

В^-1= .

б) Вычислим матрицу В^-1 с помощью алгебраических дополнений. Согласно теореме 2.3 (стр. 41), В = ∙ ,

где А_ij - алгебраическое дополнение к элементу а_ij в матрице В, i= , j= . Таким образом, ввиду теоремы 2.1,

Тогда В^-1= = .

Ответ: В^-1= .

Задание 4. Решить систему линейных уравнений двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом:

(1).