Теорема умножения вероятностей для независимых событий

P(AB) = P(A)*P(B) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁=0,7; р₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно. Решение: как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е.Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р₁*р₂=0,56.

Теорема умножения для зависимых событий

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: 

P (AB) = P (A)*PA(B).

(2.4)

Пример 6. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:  А1- первый взятый учебник в переплете;  A2- второй взятый учебник в переплете.

Событие A = A₁ * A₂, состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления событияА₂ зависит от наступления события А₁. Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой (2.4).

Вероятность наступления события А₁ в соответствии с классическим определением вероятности:

P (А₁) = m / n = 3/6 = 0,5.

P _А1 (А₂) определяется как условная вероятность наступления события А₂ при условии, что событие А₁ уже наступило:

P _А1 (А₂) = 2/5 = 0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события А:

P (А) = 0,5 * 0,4 = 0,2.

№7,№8 Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий  , вероятности появления которых  . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий  , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез  .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез  называются апостериорными вероятностями, тогда как   - априорными вероятностями.

Формула вероятности гипотез

В предыдущем примере можно поставить и другой вопрос. Обнаружен компьютер с браком, какова вероятность, что он получен от фирмы NNN ? Т.е. зная вероятности Р(Н_i), которые называются априорные вероятности гипотез Н_i, и условные вероятности Р(А/Н_i) события А при каждой гипотезе, мы хотим найти апостериорную вероятность какой-либо гипотезы при условии, что событие А произошло: Р(Н_i/ А). Формула получается из 4.1, если вместо А подставить туда Н_i, а вместо В - А.

                 (4.4)

Заменив в 4.4 знаменатель формулой полной вероятности 4.3, имеем окончательно:

№9 Формула Бернулли. Схема Бернулли.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведенииn испытаний событие A появится ровно k раз.Под схемой Бернулли понимают конечную серию   повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают  , а непоявления (неудачи) его  . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно   успехов в серии из   повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение  , при котором число   является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np - q   m  np+ p, 

Пусть проводится   независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие   наступает с вероятностью   и, следовательно, не наступает с вероятностью  . Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности   и   остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате   независимых испытаний, событие   наступит ровно   раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие   наступает   раз в   независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из   по  :

.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместны (событие   либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна:  .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в   независимых испытаниях событие   наступит ровно   раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны  , количество "удачных" комбинаций равно  , поэтому окончательно получаем:

.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в в силу полноты группы событий, будет справедливо:

.

Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность   того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:  , где  .

№ 10 Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

-функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

Пример. Найти вероятность того, что событие А насту пит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию, n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Так как n=243 - достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где х = (k—np)/ √npq.

Найдем значение х

По таблице п найдем ф(1,37) =0,1561. Искомая вероятность

P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.

№11 Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения Глава 5. Случайные величины 5.1. Понятие случайной величины

В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = х_i. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:

F (х) = Р(Х < х ).

(5.1)

где х – произвольное действительное число.

Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:

Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.

Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от математического ожидания.

Среднее квадратическое отклонение s(Х) для дискретной и непрерывной случайной величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии:

.

Далее рассматриваются отличия между дискретной и непрерывной случайными величинами.

№12 Дисперсия дискретной случайной величины. Математическое ожидание. Отклонение.

 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения  ,  , …,   с вероятностями  ,  , ., .Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается М[X].

M[X] =   +  +…+  =                          (6.3)

Пример 6.6. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, ряд распределения которой:

X	1	3	5
p	0,2	0,5	0,3

М[X]=10,2+30,5+50,3=0,2+1,5+1,5=3,2

Дисперсия дискретной случайной величины

         Можно привести пример двух дискретных случайных величин Х и Y, которые имеют различные возможные значения и при этом одинаковые математические ожидания. Рассмотрим следующие ряды распределения Х и Y: 

X	-100	100		Y	-1	1
p	0,5	0,5		p	0,5	0,5

Математические ожидания величин Х и Y равны друг другу:

M[X] = -1000,5+1000,5 = -50+50 = 0

M[Y] = -10,5+10,5 = -0,5+0,5 = 0

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х –М[Х].

         Однако оказывается, что математическое ожидание отклонения случайной величины равно 0:

М[Х – М[Х]]=0.

         Действительно, М[Х – М[Х]]= М[Х] – M[М[Х]]= М[Х] – M[Х]=0.

         Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, а другие – отрицательны. И в результате их взаимного сложения значение отклонение будет равно 0. Поэтому отклонение случайной величины нельзя использовать для оценки ее рассеяния. Для этого чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, называемое дисперсией.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D[Х] = М[(Х – М[Х])²].                                       (6.4)

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения  ,  , …,   с вероятностями  ,  , …, . Используя в выражении (6.4) определение математического ожидания (6.3), получим следующую формулу для вычисления дисперсии:

D[Х] =  =

 +  +…+  .              (6.5)

         Для вычисления дисперсии также можно пользоваться следующей формулой:

D[Х] = М[Х²] – (М[Х])².                                       (6.6)

Докажем формулу (6.6). Раскрыв квадрат разности, получим:D[Х] = М[(Х – М[Х])²] = М[Х² – 2ХМ[Х]+ М[Х]²].

Учитывая, что М[Х] – это некоторое постоянное число, раскроем предыдущее равенство так: D[Х] = М[Х²]–M[2ХМ[Х]]+M[М[Х]²] = М[Х²]– 2(М[Х])² +(М[Х])²  = М[Х²] – (М[Х])².

Таким образом, D[Х] = М[Х²] – (М[Х])² =  – (М[Х])²  =   +   + … +   – (М[Х])².

№13 Н.С.В. Функция распределения.

Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

.                                                 (6.7)

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

.

         Значит, наряду с функцией распределения, плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задает ее закон распределения.

№ 14. Плотность распределения Н.С.В.