Билеты по теории вероятностей.

№ 1.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними

Теория вероятностей изучает случайные явления под случайными явлениями понимают такие , которые имеют место в совокупностях большего числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются массовым характером явления.

Теория вероятности – отражает закономерности присущие случайным событиям массового характера и в основном этой теории лежат основные понятия.

№ 2. События и их классификация.

Возможность определения события характеризуется вероятностью события.

, где   - кол-во интересующих событий,   - кол-во наблюдаемых событий.

Достоверное событие, если вероятность появления его равна 1.

Недостоверное событие называется, если вероятность равна 0.

Несовместные события – события, при которых в данном опыте не могут появиться 2 из них.

Равновозможные события – события, при которых в данном опыте не одно из них не является объективно возможным.

Противоположные события – события, которые образуют полную группу из 2-х событий .

Независимые события – такие, при которых не зависимы каждое из 2-х событий.(Корреляция—не зависимость)

Совместные события – такие события, при которых появление 1 из них не исключает появление вругово в одном и том же опыте.

№3,№4 Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами  . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее  количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение. Вероятность события  равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

 (1.1)

где   — вероятность события  ,   — число благоприятствующих событию  исходов,   — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события  в опытах.

Относительная частота появления события   вычисляется по формуле

(1.2)

где   - число появления события  в серии из   опытов (испытаний).

Статистическое определение. Вероятностью события   называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота   при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события   принимается относительная частота   при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события   видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Пример. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из партии в 5 наудачу взятых машинок 3 окажутся бездефектными.

Решение. Для решения данной задачи введем обозначения. Пусть   — общее число машинок,   — число бездефектных машинок,   — число отобранных в партию машинок,   — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по   машинок, т.е. общее число возможных исходов будет равно числу сочетаний из  элементов по  , т.е.  . Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из   элементов по  , т.е.  .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из   элементов по  , т.е.  .

Это значит, что общее число благоприятствующих исходов определяется произведением  . Откуда получаем

Подставим в эту формулу численные значения данного примера

№5 Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство теоремы сложения вероятностей несовместных событий

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n).

Доказательство следствия теоремы сложения вероятностей несовместных событий

Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, A + В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Р ( А + В + С) = Р [(А + В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р (А) + Р (В) + Р (С).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: .Без доказательства.Замечание 1. В случае несовместных событий   мы получаем формулу для вероятности суммы несовместных событий как частный случай.Замечание 2. Сделаем еще замечание по структуре формулы для вероятности суммы двух совместных событий. Графически два совместных события можно изобразить как две пересекающиеся области A и B. Сумма A+ B соответствует попаданию в какую-нибудь из областей, или A, или B. В 3 кванте говорилось, что вероятность попадания в некоторую область пропорциональна площади этой области, и соответственно вероятность попадания в объединение двух областей будет пропорциональна площади этой объединенной области. А ее, в свою очередь, можно представить как сумму площадей двух областей A и B за вычетом пересекающегося участка, так как при суммировании площадей A и B он будет учтен 2 раза.Пример 16.1Даются 2 задачи. Зачет ставится при решении хотя бы одной. Какова вероятность получить зачет, если вероятность решить первую задачу — 0,5; вторую — 0,7?Пусть событие A состоит в том, что решена первая задача, а событие B — вторая. Вначале решим задачу уже рассмотренным нами в 14 кванте способом. События независимы, поэтому вероятность решения хотя бы одной из задач по теореме о наступлении хотя бы одного из независимых событий: .Теперь рассмотрим эту же задачу способом, рассмотренным в настоящем кванте. Используя теорему о вероятности суммы совместных событий, получаем тот же ответ:

№6 Теорема умножения вероятностей.