3.2. Математическое описание процессов преобразования энергии в двигателе постоянного тока с независимым возбуждением
Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением имеет обмотку якоря и обмотку возбуждения, которые в общем случае получают питание от независимых источников постоянного тока. Необходимым условием непрерывного процесса электромеханического преобразования энергии является протекание переменных токов хотя бы по части обмоток машины. Выполнение этого условия в машине постоянного тока обеспечивается работой коллектора, коммутирующего постоянный ток, поступающий в якорную обмотку со стороны источника питания, с частотой эл, равной электрической скорости ротора. Таким образом, с точки зрения внутренних процессов двигатель постоянного тока является машиной переменного тока и уравнения, описывающие его механическую характеристику, являются частным случаем обобщенного математического описания процессов электромеханического преобразования энергии, полученного в гл. 2.
Модели двигателя постоянного тока соответствует включение обмоток двухфазной обобщенной машины по схеме, показанной на рис.3.1,а. Здесь обмотка статора по оси включена на постоянное напряжение uв, а обмотка по оси пока не используется. Обмотки фаз 2d и 2q ротора питаются переменными токами i2d и i2q от преобразователя частоты ПЧ, осуществляющего коммутацию токов i2d и i2q в функции угла поворота ротора фэл с частотой эл. Если в качестве ПЧ используется механический коммутатор - коллектор машины, то схема на рис.3.1,а представляет собой модель двигателя постоянного тока. В случае когда в качестве ПЧ используется вентильный преобразователь частоты, коммутируемый датчиком углового положения ротора ДУ, эта же схема является схемой модели вентильного двигателя. Поэтому анализ электромеханических свойств двигателей постояннного тока в пределах допущений, лежащих в основе общей модели, справедлив и для вентильного двигателя на базе синхронной машины, получающего питание от мощной сети постоянного тока. В рассматриваемой модели МДС статора создается постоянным током возбуждения iв=i поэтому она ориентирована по оси и неподвижна в пространстве. Соответственно и МДС ротора при вращении ротора со скоростью должна быть неподвижна относительно статора, а это возможно при условии, что МДС ротора вращается относительно ротора против его вращения со скоростью - . Для выполнения данного условия необходимо, чтобы обмотки фаз ротора обтекались переменными токами i2d и i2q , изменяющимися с частотой эл по закону
Магнитодвижущая сила ротора в этом случае будет вращаться относительно ротора со скоростью - в соответствии с выбранным чередованием фаз, оставаясь неподвижной относительно статора.
Так как поле неподвижно относительно статора, для получения математического описания динамических процессов преобразования энергии в двигателе постоянного тока целесообразно использовать преобразование , , d, q , (к=0). Осуществим с помощью формул (2.16) преобразование токов i2d и i2q к осям , :
Следовательно, в осях а, 3 действительным переменным токам обмотки ротора эквивалентна одна якорная обмотка, обтекаемая постоянным током iя и создающая поле, неподвижное в пространстве и направленное по оси а, совпадающей с осью щеток двигателя. В реальной машине по оси щеток направлены также МДС обмоток дополнительных полюсов ДП и компенсационной обмотки КО, с учетом которых схема модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением в осях , представлена на рис.3.1,б.
Для получения уравнений динамической механической характеристики двигателя постоянного тока можно непосредственно воспользоваться преобразованными уравнениями обобщенной машины в осях , :
В соответствии с рис.3.1,б в (3.1) можно принять
Показанные на рис.3.1,б обмотки машины, расположенные на статоре по оси а, непосредственно в процессе электромеханического преобразования энергии не участвуют. Обмотка ДП обтекается током якоря и обеспечивает вблизи оси щеток , т. е. в зоне, где осуществляется коммутация тока в проводниках обмотки якоря, магнитное поле такого направления и значения, при котором процессы коммутации протекают наиболее благоприятно. Компенсационная обмотка КО является распределенной обмоткой, закладываемой в пазы на главных полюсах аналогично якорной обмотке. Вследствие протекания по ней тока якорной цепи она создает МДС, компенсирующую МДС реакции якоря по поперечной оси . В машинах без компенсационной обмотки эта реакция якоря искажает форму поля под главными полюсами и в связи с насыщением магнитопровода создает размагничивающую продольную составляющую. Благодаря действию КО влияние поперечной реакции якоря на поле главных полюсов существенно уменьшается. С учетом сказанного можно выразить потокосцепление обмоток через токи:
Здесь L - полная индуктивность обмотки возбуждения, а Lя - суммарная индуктивность рассеяния обмоток ЯО, ДП и КО, так как основная МДС обмотки ЯО по оси а компенсируется МДС компенсационной обмотки. Соответственно сопротивление Rя включает в себя все сопротивления обмоток якорной цепи двигателя. С учетом введенных обозначений и (3.2) система уравнений (3.1) запишется в виде
Нетрудно видеть, что первые два уравнения полученной системы представляют собой уравнения Кирхгофа для цепей возбуждения и якоря машины, причем последний член уравнения для цепи якоря есть ЭДС двигателя:
где k=pп·N/2··a - конструктивный коэффициент; N - число активных проводников; а - число параллельных ветвей якорной обмотки.
Момент в (3.3) с учетом (3.4) определяется соотношением
Следовательно, для записи уравнений механической характеристики двигателя постоянного тока можно, как это принято, непосредственно использовать схему его цепей на постоянном токе, приведенную на рис.3.2. На этой схеме и в дальнейшем изложении вспомогательные обмотки ДП и КО не показываются, а их сопротивления и индуктивности рассеяния учитываются в Rя и Lя Получение уравнений (3.3) из уравнений обобщенной машины, выполненное здесь, имеет целью показать универсальные возможности методики описания динамических процессов преобразования энергии, изложенной в гл. 2.
С
учетом (3.4) и (3.5) систему (3.3) можно
представить в виде
Математическое описание механической характеристики двигателя постоянного тока (3.6) при переменном потоке нелинейно в связи с тем, что ЭДС двигателя е и электромагнитный момент М пропорциональны произведениям потока соответственно на скорость и ток якоря. Во многих случаях двигатель с независимым возбуждением работает при постоянном потоке Ф=const, при этом уравнения механической характеристики линеаризуются и после преобразований математическое описание динамических процессов преобразования энергии в двигателе с независимым возбуждением представляется в виде следующего уравнения механической характеристики:
Подстановка М=kФIЯ в (3.7) дает уравнение электромеханической характеристики:
Как частный результат полученного математического описания могут быть определены уравнения статических электромеханической и механической характеристик двигателя. При постоянном потоке уравнения этих характеристик с помощью (3.7) и (3.8) при dM/dt=di/dt=0 записываются в виде
Рассматривая полученные уравнения, можно заключить, что при Ф=const электромеханическая и механическая характеристики двигателя с независимым возбуждением линейны. Поэтому положение каждой характеристики может быть охарактеризовано двумя точками: точкой идеального холостого хода, в которой I=0; М=0, и точкой короткого замыкания, в которой =0. В соответствии с (3.9) и (3.10) первой из них соответствует скорость идеального холостого хода:
Второй соответствуют момент Мкз и ток Iкз короткого замыкания. Их можно определить, решив (3.9) и (3.10) относительно тока и момента:
Положим в этих уравнениях =0, получим
Важным показателем электромеханических свойств двигателя является модуль статической жесткости механической характеристики ст. Зависимость ст от параметров двигателя получим, продифференцировав в соответствии с (2.48) уравнение (3.13) по скорости:
Следовательно, модуль статической жесткости определяется соотношением
С помощью (3.11) и (3.16) уравнение статической механической характеристики двигателя с независимым возбуждением может быть записано в следующих
формах:
где Мкз=·0.
Уравнение электромеханической характеристики с учетом (3.11) и (3.14) может иметь следующие формы записи:
