3.2. Механические колебания и волны в упругих средах

1. Смещение, скорость и ускорение при гармоническом коле-бании:

;

;

,

где A – амплитуда колебаний;  – угловая или циклическая частота; φ – начальная фаза.

2. Циклическая частота , период колебаний T и частота  связаны соотношением .

3. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода, амплитуда которого A и начальная фаза ₀ определяются уравнениями:

;

,

где A₁ и A₂ – амплитуды складываемых колебаний; φ₁ и φ₂ – начальные фазы.

При сложении двух гармонических взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание следующего вида:

,

где A₁ и A₂ – амплитуды складываемых колебаний; φ – разность фаз обоих колебаний;

, Δφ = 0;

, Δφ = .

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила),

,

где – коэффициент квазиупругой силы.

4. При отсутствии сопротивления среды циклическая частота свободных колебаний ω₀, называемая собственной циклической частотой, и период колебаний T равны:

.

5. Период колебаний математического маятника длиной L

.

6. Период колебаний физического маятника

,

где J – момент инерции маятника относительно оси качения; d – расстояние от оси до его центра тяжести.

7. Полная энергия тела, совершающего гармонические колеба-ния, равна

.

8. Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости ( , где r – коэффициент сопротивления), имеет вид

,

где – убывающая во времени амплитуда смещения;  – коэффициент затухания; ω – циклическая частота затухающих колебаний; φ₀ – начальная амплитуда и фаза. Величины , ω выражаются через параметры системы r, m формулами:

; .

9. Логарифмический декремент затухания

,

где A₁ и A₂ – амплитуды двух последовательных колебаний, отстаю-щих по времени друг от друга на период.

10. Амплитуда вынужденных колебаний

,

где h – отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; ω₀ – собственная циклическая частота; Ω – циклическая частота вынуж-дающей силы.

11. Резонансная циклическая частота

.

12. Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся со скоростью в направлении оси Ox:

или ,

где x – смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии r от источника гармонических колебаний, харак-теризующихся амплитудой A, циклической частотой ω с начальной фазой φ₀ = 0; k – волновое число, ,  – длина волны.

13. Длина волны связана с периодом колебаний T и частотой  соотношениями:

и .

14. Связь между разностью фаз φ двух точек бегущей волны и разностью хода r = r₂ – r₁ (т.е. разностью расстояний этих точек от источника колебаний):

.

15. Уравнение стоячей волны:

y = A  coskx  cosωt .

16. Фазовая скорость продольных волн в тонких стержнях

,

где E – модуль упругости; – плотность материала стержня.

3.3. Основы молекулярной физики и термодинамики

1. Количество вещества тела (системы)

,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, составляю-щих тело); N_A – постоянная Авогадро, N_A = 6,0210^-23 моль^-1.

2. Молярная масса вещества

EMBED Equation.3 ,

где m – масса однородного тела; – количество вещества этого тела.

3. Относительная молекулярная масса вещества

M_r = n  A_ri ,

где n – число атомов i-го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; A_ri – относительная атомная масса этого элемента.

4. Связь молекулярной массы M с относительной молекулярной массой вещества:

M = M_r  k ,

где k = 10^-3 кг/моль.

5. Количество вещества смеси газов:

; ;

,

где υ_i, N_i, m_i, M_i – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-го компонента смеси.

6. Уравнение Менделеева–Клапейрона (уравнение состояния идеального газа):

EMBED Equation.3 или ,

где р – давление; V – объем; m – масса газа; M – молекулярная масса газа; R – молекулярная газовая постоянная; υ – количество вещества; T – термодинамическая температура.

7. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева–Клапейрона для изопроцесса:

а) закон Бойля–Мариотта (изотермический процесс: T = const; m = const):

р  V = const ,

для двух состояний газа р₁  V₁ = р₂  V₂ ;

б) закон Гей–Люссака (изобарный процесс: p = const; m = const):

EMBED Equation.3 ,

для двух состояний ;

в) объединённый газовый закон (m = const):

или ,

где p₁, V₁, T₁ – давление, объём и температура в начальном состоянии; p₂, V₂, T₂ – те же величины в конечном состоянии.

8. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:

р = p₁ + p₂ + p₃ + …+p_n ,

где p_i – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

9. Молярная масса смеси газов

,

где m_i – масса i-го компонента смеси; n – число компонентов смеси; _i – количество вещества i-го компонента смеси.

10. Концентрация молекул

,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ – плот-ность вещества; V – объём системы.

11. Основное уравнение кинетической теории газов:

,

где  средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

12. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

,

где k – постоянная Больцмана.

13. Средняя полная кинетическая энергия молекулы

,

где i – число степеней свободы.

14. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры:

p = n  k  T.

15. Скорости молекул:

 средняя квадратичная;

 средняя арифметическая;

 наиболее вероятная,

где m₁ – масса одной молекулы.

16. Удельные теплоёмкости газа при постоянном объёме C_V и постоянном давлении C_p:

; .

17. Связь между удельной c и молярной C теплоёмкостями:

EMBED Equation.3 ; .

18. Уравнение Майера:

C_p – C_V = R .

19. Внутренняя энергия идеального газа

.

20. Первое начало термодинамики:

Q = U + A,

где Q – теплота, сообщённая системе (газу); U – изменение внутрен-ней энергии системы; A – работа, совершённая системой против внешних сил.

21. Работа расширения газа:

– в общем случае;

– при изобарном процессе;

– при изотермическом процессе;

или 

при адиабатном процессе, где  показатель адиабаты.

22. Уравнение Пуассона. Связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

; ; ; .

23. Термодинамический КПД цикла

,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q₂ – теплота, переданная рабочим телом теплоприёмнику.

24. Теплодинамический КПД цикла Карно

,

где T₁ и T₂ – термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприёмника.