8. Непрерывность функции

Определение. Функция , определенная в окрестности точки , называется непрерывной в этой точке, если . Функция непрерывна на отрезке (интервале), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

Это определение можно переписать так: функция непрерывна в точке , если

,

т.е. когда две операции над переменной -- функция f и предельный переход перестановочны.

Обозначим -- приращение переменной и -- приращение функции. Тогда определение непрерывности можно переписать и так: непрерывна в точке a, если .

1. Свойства непрерывных функций

Н1. Сумма непрерывных функций есть непрерывная функция

Н2. Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция

Н3. Частное непрерывных функций -- непрерывная функция, во всех точках, где знаменатель отличен от 0

Эти свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов (см. LIM2-LIM4, ).

Н4. Подстановка непрерывной функции в непрерывную функцию есть непрерывная функция

Это свойство следует из свойства LIM8 -- предел сложной функции.

Устойчивость знака непрерывной функции. Пусть непрерывна в точке a и . Тогда для всех достаточно близких к .

Доказательство. Для найдется такое, что как только , то . Для этих значений имеем: □

Примеры непрерывных функций

1. Константа, а также тождественная функция непрерывны.

Доказательство вытекает из LIM1.

2. Любой многочлен непрерывная функция.

Применяем Н1 и Н2 к тождественной функции

3. Рациональная функция, т.е. отношение двух многочленов, непрерывная функция в точках не являющихся корнями знаменателя.

Применяем Н3 к многочленам.

4. Функция непрерывна.

Действительно, (применяем неравенство полученное при выводе первого замечательного предела). Отсюда следует, что , т.е. непрерывна в точке .

9. Непрерывность на отрезке

Лемма 1. Из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Из ограниченности последовательности вытекает, что все ее значения принадлежат отрезку . Делим этот отрезок пополам и выбираем ту половину , в которой бесконечное число членов последовательности (если обе половины удовлетворяют этому условию, то выбираем, например, левую). С отрезком поступаем точно также. Получаем систему вложенных друг в друга отрезков, которые по принципу Кантора о вложенных отрезках имеет общую точку d. Выберем затем индексы так, что . Тогда в силу , для любого 𝜺 >0 окрестность (d-𝜺 ,d+𝜺 ) содержит все отрезки а значит и все начиная с некоторого номера N. Это доказывает, что .□

Лемма 2 [замкнутость отрезка] Отрезок содержит все свои предельные точки.

Доказательство. Если все , то для всех n. Отсюда получаем . Аналогично, . Тогда .□

Теорема Вейерштрасса. Функция , непрерывная на отрезке , ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют точки такие, что

для любого .

Доказательство. Пусть . Если функция неограничена сверху, то полагаем здесь A=+∞ . Тогда найдется последовательность точек таких, что . Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность (см. леммы выше). Тогда в силу непрерывности. Тем самым A=f(d)<+∞ и ограниченность следует. Полагаем .

Аналогично доказывается существование . □

Для интервала аналогичное утверждение неверно -- см. пример неограниченной функции tg x на интервале (-π /2,π /2).

Теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке и в концах отрезка принимает значения разных знаков. Тогда найдется точка такая, что f(c)=0.

Доказательство. Строим систему вложенных друг в друга отрезков . Первый из них -- отрезок . Далее рассмотрим точку -- середину отрезка . Если f(d)=0, то c=d -- искомая точка. Иначе из двух отрезков и выбираем тот на концах которого функция принимает значения разных знаков. Его объявляем и с ним поступаем точно также как и с отрезком (см. рис. 2).

Рисунок 1. Решение уравнения f(x)=0 методом дихотомии

Либо мы на каком-то шаге придем к искомой точке c, либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков

каждый последующий из которых вдвое короче предыдущего. Из принципа Кантора вложенных отрезков вытекает, что существует точка принадлежащая всем отрезкам . Если , то найдется окрестность точки c такая, что для любого следует неравенство (устойчивость знака непрерывной функции). Но ясно, что для какого либо n. Это противоречит тому, что на концах отрезка функция принимает значения разных знаков. Аналогично приводится к противоречию предположение . Остается , что и требовалось доказать.□

Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке . Обозначим , . Тогда для любого числа C лежащего между m и M найдется точка такая, что .

Достаточно применить теорему Больцано-Коши к разности и отрезку вместо .

Определение. Функция называется обратной к функции , если и .

Например, обратна к функции . Немного не строго, в ситуации предыдущего определения, функцию также называют обратной к функции .

Теорема [непрерывность обратной функции]. Если непрерывно и строго монотонно отображает отрезок в отрезок так, что (либо в случае убывающей функции), то обратная функция существует, и она непрерывно и монотонно отображает отрезок на отрезок .

Доказательство. Существование обратной функции, т.е. фактически свойство , вытекает из следствия теоремы Больцано-Коши. Монотонность g ясна.

Пусть и 𝜺 >0. Предполагаем, что возрастает. Тогда

Возьмем

.

Тогда для выполняется неравенство . Это влечет непрерывность функции g. □

Ранее мы уже определили корень арифметический n-ой степени из неотрицательного числа. Однако непрерывность корня мы можем обосновать только сейчас.

Следствие. Существует и единственен арифметический корень -- непрерывная функция как обратная к непрерывной монотонной функции .