2. Свойства предела функции

Следующие свойства предела функции вытекают из аналогичных свойств предела последовательности с применением теоремы 2.

LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе

Пусть существую пределы . Тогда

LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов: .

LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов: . В частности, константу можно выносить за знак предела.

LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда предел знаменателя отличен от 0.

Следующие свойства LIM5-LIM7 описывают предельный переход в неравенствах.

LIM5. Если при любом x из некоторой малой окрестности точки a, то и (при условии существования предела). Аналогично свойство имеет место для неравенства "≤ ".

Как следствие предыдущего свойства получаем монотонность предела:

LIM6. Предположим, что для любого близкого к a. Тогда и при условии существования этих пределов.

Следующее свойство называется теоремой о пределе промежуточной функции

LIM7. (предел промежуточной функции) Предположим, что для любого из некоторой проколотой окрестности точки . Предположим также, что пределы и существуют и совпадают между собой. Тогда и предел промежуточной функции при существует и совпадает с пределами крайних функций.

LIM8. (предел сложной функции) Предположим, что

• существует предел равный ;

• существует предел .

Тогда существует предел сложной функции при и он равен A.

Доказательство. Фиксируем . Находим такое, что для любого . Для этого находим такое, что как только , то . Тогда и неравенство также будет выполнено для любого , удовлетворяющего неравенствам . □

4. Бесконечно малые величины

Функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки называется бесконечно малой при , если .

Свойства бесконечно малых величин вытекают из соответствующих свойств предела:

M1. Сумма бесконечно малых величин суть бесконечно малая величина.

Функция называется ограниченной в точке , если найдется такая окрестность этой точки и такая константа , что для всех из этой окрестности.

Предложение. Функция, имеющая предел в точке , ограничена в этой точке. Более того, если , то ограничена в точке a.

Доказательство. Если для любых , то для любых из -окрестности точки имеет место оценка

Докажем второе утверждение. Полагаем . Для 𝜺 =A/2 найдем δ такое, что . Тогда и для всех x из δ-окрестности точки . Аналогично разбирается случай A<0.□

M2. Произведение бесконечно малой величины на функцию, ограниченную в точке , является бесконечной малой величиной. В частности, произведение б.м. на функцию, имеющую предел в точке суть также б.м., а также произведение нескольких б.м. есть б.м.

М3. Произведение б.м. на константу есть б. м.

M4. Отношение б.м. к функции, имеющий ненулевой предел в точке является б.м.

Действительно, если , то ограничена в точке a по выше доказанному в предложении. Следовательно, на основании свойства М2 получаем, что также есть б.м.

М5. Пусть  (x) - бесконечно малая при , а -- функция такая, что выполняется неравенство для всех x из достаточно малой проколотой окрестности точки . Тогда также будет б.м.

Это свойство верно в силу теоремы о пределе промежуточной функции.