Предел и непрерывность.

Оглавление

1 Предел последовательности вещественных чисел 1

1.1 Свойства предела 3

1.2 Сумма ряда 5

2 Число е 5

3 Предел функции 6

Примеры 6

3.1 Определение и свойства предела функции. 7

3.2 Свойства предела функции 9

4 Бесконечно малые величины 10

5 Сравнение бесконечно малых величин. 10

6 Первый замечательный предел 12

7 Второй замечательный предел 13

7.1 Таблица эквивалентных б.м. при x→ 0 14

8 Непрерывность функции 14

8.1 Свойства непрерывных функций 15

9 Непрерывность на отрезке 16

9.1 Принцип непрерывности 18

1. Предел последовательности вещественных чисел

Неравенство задает интервал , который называется 𝜺 -окрестностью точки (числа) Заметим, что любой интервал, содержащий точку , включает в себя -окрестность при достаточно малом

Последовательностью называется ряд чисел

занумерованный натуральными числами (или целыми неотрицательными числами). Формально, последовательность есть отображение . Число называется n-ым членом (или общим членом) последовательности Очень часто он задается аналитическим выражением.

Примеры последовательностей

а) константная последовательность: ;

б) . Общий член задается формулой .

в) . Общий член задается формулой .

г) . Эта последовательность вида Видно, что эта последовательность монотонно возрастает.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного 𝜺 найдется натуральное N такое, что для всех .

Пример 1. Докажем, что lim 1/n =0. Возьмём 𝜺 >0. Неравенство |1/n-0| <𝜺 выполнено, если n>1/𝜺 . В качестве N(𝜺 ) можно взять [1/𝜺 ]+1 -- наименьшее натуральное число, превосходящее 1/𝜺 . Здесь через обозначена целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее .

Пример 2. Докажем, что последовательность не имеет предела. ???

Предложение 1. Если предел существует, то он единственен

Доказательство. Пусть числа A и B равны пределу . Если A≠ B, то взяв 𝜺 <|A-B|/2 получим непересекающиеся окрестности и . Но согласно определению предела, начиная с некоторого в первую окрестность попадают все и начиная с некоторого во вторую попадают все . Возьмем . Тогда – общая точка этих окрестностей; противоречие. Противоречие показывает, что предположение A≠ B неверно. Следовательно, A=B.

После доказательства единственности предела имеем право ввести оператор предельного перехода:

Теорема 1. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел и он равен . Аналогично, любая монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел равный точной нижней грани множества значений этой последовательности.

Доказательство. Пусть -- монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность. Обозначим . Пусть 𝜺 >0. Так как число u-𝜺 не является верхней гранью значений нашей последовательности, то найдется натуральное N такое, что . Тогда для любого n≥ N имеем

в силу монотонности последовательности и того факта, что u -- верхняя грань. Отсюда для любого натурального n≥ N следует неравенство <𝜺, что и требовалось доказать.□

1. Свойства предела

ПР1. Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют.

Пусть , . Фиксируем 𝜺 >0. Находим такое, что для любого выполняется неравенство . Аналогично, находим такое, что для любого выполняется неравенство . Тогда для любого выполняется оценка

ПР2. Предел константной последовательности равен этой константе.

Последовательность называется ограниченной, если найдется константа такая, что для всех .

ПР3. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Действительно, пусть . Для 𝜺 =1 найдем натуральное N, начиная с которого выполняется неравенство . Тогда

что и требовалось доказать.

ПР4. Предел произведения равен произведению пределов, при условии, что пределы сомножителей существуют.

Доказательство. Пусть и . Ограничим последовательность числом M>0 согласно свойства ПР3. Будем иметь:

Так как величины и могут быть сделаны сколь угодно малыми, то и также можно сделать меньше наперед заданного 𝜺 для всех n, начиная с некоторого натурального N.

ПР5. Константу можно выносить за знак предела:

Это утверждение есть следствие свойств ПР4 и ПР2.

ПР6. Предел отношения равен отношению пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и последний не равен нулю.

Достаточно доказать, что в предположении и далее применить свойство Г. Из условия следует, что найдется N начиная с которого . Тогда модуль разности

может быть сделан сколь угодно малой величиной начиная с некоторого N. □

На основе предела можно вычислять другие пределы, пользуясь уже не определением, а правилами ПР1-ПР6. Например,

Опишем теперь предельные переходы в неравенствах.

ПР7. Если выполняется неравенство начиная с некоторого N, и предел последовательности существует, то . Аналогичное свойство имеет место для неравенства ≤ .

Действительно, если , то для найдется N, начиная с которого . Тогда -- противоречие с условием.□

Заметим, что для строгих неравенств аналогичное утверждение несправедливо. Например, 1/n>0 для любого n, но lim 1/n=0, как мы доказали выше.

ПР8. Если выполняется неравенство начиная с некоторого N, то при условии, что эти пределы существуют.

Действительно, так как для всех , то согласно свойства ПР7. Тогда, применяя свойства ПР1 и ПР5, получим:

ПР9 (предел промежуточной последовательности). Если начиная с некоторого номера, а пределы крайних последовательностей существуют и равны одному и тому же числу A, то предел также существует и равен A.

Доказательство. Пусть число 𝜺 >0 задано. Тогда найдется номер N такой, что и начиная с N. Отсюда

Пример. Докажем, что если , то . В силу монотонного убывания и ограниченности снизу нулем, предел этой последовательности существует по теореме о пределе монотонной последовательности. Применяя принцип Архимеда, получаем, что сколь угодно близко подходит к 0. Тогда .