Рекурсия
Пусть нам
дана функция одной переменной
и первый член последовательности
.
Определим последовательность
так, что
Это фактически есть определение по индукции, где база индукции есть явное задание первого члена последовательности, а индукционный переход есть соотношение (1).
Примеры
1. Определение
сложения:
и
2. Определение
умножения:
и
3. Определение
степени:
и
4. Определение
факториала:
и
Бывает и
более сложная рекурсия, когда задаются
явно первые два члена последовательности
–
, а каждый следующий вычисляется по
предыдущим двум по фиксироыванной
схеме:
Пример – числа Фибоначчи
Несколько
первых чисел Фибоначчи таковы
Явная формула для чисел Фибоначчи существует и имеет вид
Докажем это.
Будем искать числа
такие, что
для всех натуральных
.
Сокращяя на
получаем квадратное уравнение
(называемое характеристическим), корни
которого суть
.
Любая линейная комбинация степеней
,
т.е. последовательность вида
также будет удовлетворять рекурентному
соотношению
.
Остается выбрать
и
так, чтобы удовлетворить начальным
условиям
:
Отсюда
и
,
.
Суммы, произведения и бином Ньютона
Этот вспомогательный параграф содержит чрезвычайно часто употребляемые в математике операторы суммирования и произведения, а также формулу бинома Ньютона, обобщающую известные формулы квадрат суммы и куб суммы двух чисел.
Пусть задано
конечное семейство чисел
.
Тогда выражение
обозначает их сумму
,
а
называется индексом суммирования,
который пробегает от 1 до n. Аналогично,
обозначает произведение
семейства чисел
.
Если мы заменим индекс суммирования на
любую другую букву, то результат
применения операторов суммирования и
произведения не изменится. Строго, сумма
определяется рекурсивно по
последовательности
как
Аналогично
Если все
числа
из семейства равны одному и тому же
числу d, то
и
.
Отметим свойство линейности суммы:
В этом смысле оператор суммирования проще (и чаще употребительней) оператора произведения, свойство линейности для последнего не выполняется.
Факториал натурального числа n есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Обозначается факториал как n!. Полагаем также по определению 0!=1. Получаем
Подсчет 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040, 8!=40320, … убеждает нас, что факториал -- очень быстро растущая функция.
Решим теперь
такую комбинаторную задачу: сколькими
способами можно выбрать k предметов из
n предметов. Обозначим это число
(читается: "це из эн по ка"). В
некоторых частных случаях ответ прост:
,
,
.
Формула
получается после некоторого размышления
-- выбор n-1 предмета из n предметов
равносилен "невыбору" одного
предмета из тех же n предметов. Иными
словами
.
Обобщая это правило на случай k предметов,
получим:
Фиксируем
один предмет
среди данных n предметов A. Тогда все
выборы k предметов из A, т.е. все подмножества
B⊆ A содержащие
k предметов разбиваются на два класса
-- те, что содержат
и те, что не содержат
.
В первом классе
подмножеств (остается выбрать k-1 предмет
из
),
а во втором классе
подмножеств
(все k предметов выбираем из множества
).
Получаем:
Этой формулой
можно пользоваться для всех 1≤ k≤ (n-1)
и n≥ 1. Вместе с "граничными условиями"
это дает способ вычисления всех чисел
.
Соотношения (3) также представляют из
себя рекуррентные формулы.
Получаем так называемый треугольник Паскаля
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .....
В этом треугольнике n-ая строка сверху содержит числа при k=0,1,2,… , n. Любое число, кроме самых крайних слева и справа равно сумме чисел стоящих над ним (4=1+3, 6=3+3, и.т.д.) Имеется и прямая, не рекуррентная формула для чисел
Предложение. Для всех n≥ 1 и всех 0≤ k≤ n имеет место равенство
Обозначим
пока
. Имеем:
Иными словами,
краевые условия совпадают. Докажем, что
числа
удовлетворяют рекуррентному соотношению
(3).
Теперь очень
легко индукцией по n доказать, что имеет
место равенство
для всех допустимых k. Действительно,
база индукции, n=1 проверяется прямым
подсчетом. Предполагая далее верным
равенство
при всех
докажем равенство
для всех
.
Во-первых, это так для
и для
в силу совпадения граничных условий.
Для остальных
воспользуемся рекуррентным соотношением
и предположением индукции:
Бином Ньютона. Для любого натурального n имеет место равенство
Доказательство. Раскрывая скобки в произведении
мы видим, что
количество слагаемых, у которых степень
по
равна
,
а степень по
равна
совпадает с числом выборов
предметов из n предметов, т.е. с
.
Возможен и другой способ доказательства бинома Ньютона -- индукцией по степени n. Тогда следует применить рекуррентные формулы (3). В связи формулой бинома Ньютона числа называют биномиальными коэффициентами.
Пример
Крупное достижение Ньютона состоит в том, что формулой (5) можно пользоваться и в случае нецелого . Правда в этом случае справа получается бесконечная сумма:
Точное
значение
1,0488088481701515469914535136799…