Индукция

Метод математической индукции иначе еще называют принципом домино. Представим себе ряд костей домино. Если толкнуть первую кость, то она вызовет падение второй кости, а та в свою очередь третьей и т.д. пока все кости не упадут. Разрушение всей системы основано на двух фактах:

1) первую кость мы толкаем сами, 2) если кость с номером n падает, то она вызывает падение и кости с номером n+1.

Принцип мат. индукции гласит, что даже если в ряду костей домино бесконечное число, то все кости упадут. Трудность состоит в том, чтобы мыслить этот процесс завершенным до конца. Ясно, что никакой реальный эксперимент не может подтвердить такой принцип в точности, но частичное подтверждение этого принципа есть -- результат падения всех костей, даже если их несколько тысяч.

Приведу пример доказательства "по индукции" из теории чисел. Докажем, что для любого натурального n выполняется равенство

Нам надо обосновать целую серию числовых равенств

(Р1) (Р2) (Р3) ...................... (Рn)

(Р(n+1)) .....................

Что касается первых несколько, то они очевидны и в справедливости их можно убедиться непосредственным вычислением. Но ведь нам надо доказать соотношение (1) сразу для всех n. Поступим так: примем на веру, что утверждение Рn справедливо. Тогда преобразования

убеждают нас, что и следующее утверждение Р(n+1) также верно. Мы попадем в ситуацию как и с костями домино: первое утверждение проверили, из него вытекает второе, а из него вытекает третье и т.д. до конца. Вот в этом слове "до конца" вся трудность -- конца-то у последовательности натуральных чисел нет. Здесь мы должны прочувствовать и поверить, что если в серии доказываемых равенств первое равенство верно, а из справедливости равенства с номером n вытекает справедливость n+1-го равенства, то все равенства верны. Иными словами мы считаем процесс выведения следующего равенства из предыдущего завершенным.

Наряду с формулой (1) будем далее пользоваться формулами

которые можно доказать «по индукции».

Сформулируем теперь отчетливо и строго принцип математической индукции (ПМИ): пусть дан ряд утверждений

и известно, что

1) -- истинное утверждение (база индукции);

2) если для какого-либо n утверждение верно (индукционное предположение), то и следующее утверждение также истинно (индукционный переход)

Тогда ПМИ позволяет заключить, что все утверждения верны.

Иногда ПМИ применяется в другой форме: если для ряда утверждений (2) проверена база индукции, а также

2)' из того, что все утверждения справедливы для всех k<n вытекает справедливость n-го утверждения , то как и ранее заключаем, что утверждения верны для всех n.

Приведем пример утверждения из теории делимости натуральных чисел, где при доказательстве используется ПМИ во второй редакции. А именно, докажем основную теорему арифметики: любое натуральное число n>1 разложимо в произведение простых чисел и такое разложение единственно с точностью до перестановки множителей.

Докажем лишь существование разложения. База индукции -- случай n=2. Это наименьшее простое число. Для него теорема верна. Предположим, что мы проверили разложимость в произведение простых всех чисел k меньший n. Если n ни на что не делится, кроме самого себя и единицы, то n -- простое число и n является искомым разложением самого себя. В противном случае, n=k⋅m для натуральных чисел 1<k, m<n. По предположению индукции числа k и m разложимы в произведение простых. Следовательно, и их произведение n также разложимо в произведение простых.