Множества. Логика.

Оглавление

Множества 1

Логика 2

Отображения 3

Индукция 5

Рекурсия 7

Суммы, произведения и бином Ньютона 8

Множества

Множество -- неопределяемое понятие. Запись означает, что элемент принадлежит множеству . Отношение принадлежности также неопределяемо. Запись значит, что элемент не принадлежит множеству . Среди всех множеств есть пустое множество ∅, которое не содержит ни одного элемента. Два множества равны, если и только, если они состоят из одних и тех же элементов (аксиома).

Множество, состоящее из элементов , записывается как . Различают конечные и бесконечные множества. Если множество бесконечно, то очень часто его задают следующим образом:

Здесь -- некоторое универсальное множество, из которого и отбираются элементы. Например, -- множество всех действительных чисел, синус которых равен нулю. Это множество совпадает с множеством {0,± π ,± 2π ,± 3π ,… }.

Объединением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих либо , либо . Пересечением множеств A и B называется множество A∩B, состоящее из всех элементов, принадлежащих как , так и . Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих , но не принадлежащих .

Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент из B принадлежит также и . Записывается это отношение так: или . Здесь употреблен символ нестрого включения. Если мы хотим выразить, что и , то пишем (строгое включение). Очередная аксиома теории множеств постулирует, что для любого множества A существует множество всех его подмножеств.

Пара это новый математический объект. Пару элементов можно мыслить как множество из этих двух элементов с дополнительным указанием на то, какой из них первый, какой второй. Считаем, что в том и только том случае, когда одновременно и .

Обозначим через -- совокупность всех пар , где a пробегает , а пробегает . Называется декартовым произведением множества A на множество B. В частности, если , то обозначаем как и называем декартовым квадратом. Одна из аксиом теории множеств – декартово произведение двух множеств существует, и если эти множества не пусты, то и декартово произведение не пусто.

Логика

Далее мы будем часто пользоваться логической символикой. Пусть -- какие-либо утверждения. Тогда значит, что из утверждения следует (вытекает) утверждение . Импликация ложна только в одном случае, когда посылка истинная, а заключение ложно. Запись значит, что эти утверждения эквивалентны, т.е. справедливость одного влечет справедливость другого. В частности, импликация эквивалентна утверждению « ».

Очень часто в математике применяется логическая операция отрицания. Отрицание утверждения обозначаем как . Пусть и -- два утверждения. Тогда

и ⇔ не( ) или не ( );

или ⇔ не( ) и не ( );

⇔ ( не ( ) не( ));

⇔ -- «отрицание отрицания»

Пример. Утверждение «не верно, что Васька плут и мошенник» эквивалентно следующему: «или Васька не плут или Васька не мошенник». Утверждение «не верно, что Фигаро здесь или Фигаро там» эквивалентно следующему: «Фигаро и не здесь и не там». Утверждение «не верно, что нет у вас шансов» эквивалентно следующему « у вас есть шанс».

Следует привыкнуть и к так называемым кванторам существования и всеобщности. Запись значит, что существует элемент из универсального множества (он может быть не единственен), что выполняется условие , содержащее x как переменную. Например, высказывание звучит так: найдется число , квадрат которого равен -1. Если подразумевать область действительных чисел, то такое высказывание ложно, а для комплексных чисел оно истинно. Итак, знак ∃ заменяет слова "существует, найдется".

Квантор всеобщности ∀ заменяет слова "для любого, всякий, для каждого" и т.п. Например, ∀ x ∈ ℝ ( ) -- верное высказывание, а -- ложное высказывание.

Доказательство «от противного» основано на том, что для любого утверждения верно ровно одно из утверждений: либо , либо его отрицание . Это можно считать логической аксиомой. Схема доказательства утверждения «от противного» такова: мы предполагаем, что верно отрицание и приводим это предположение к противоречию (типа 0=1). Тогда получается, что верно . Приведем пример: докажем, что две окружности могут либо не пересекаться, либо касаться в одной точке, либо пересекаться в двух точках, либо совпадать. Предположим противное: две разные окружности и имеют боле двух общих точек . Точки не лежат на одной прямой (почему?), следовательно срединные перпендикуляры к отрезкам и пересекаются в одной точке О, равноудаленной от точек . Так как срединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности, то получаем, что точка О есть центр и и . Так как радиусы этих окружностей совпадают с , т.е. равны, то получаем -- противоречие с тем, что эти окружности разные. Противоречие показывает, что не могут две разные окружности иметь более двух общих точек. Следовательно, две разные окружности могут иметь 1) две общие точки, 2) одну общую точку (касание), 3) нет общих точек.

Договоримся всюду далее знак ":=" использовать как равенство по определению, т.е. означает, что A по определению равно B.