38. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность функции
Определение
1. Функция f(x)
называется непрерывной в
точке x0,
если 
.
Более подробно это расшифровывается следующим образом:
1. 
.
2. 
.
Другими словами, непрерывная функция
характеризуется тем свойством, что
можно менять местами знак функции и
знак предела.
3. Обозначим 
(приращение
аргумента) и 
(приращение
функции). Тогда непрерывная функция
характеризуется тем свойством, что
при 
также
и 
,
то есть бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
39. Свойства функций непрерывных на отрезке. Геометрическая интерпретация этих свойств.
Теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Из
ображенная
на рисунке функция 
непрерывна
на отрезке 
и
принимает свое наибольшее значение M в
точке 
,
а наименьшее m–
в точке
.
Для любого 
имеет
справедливо неравенство: 
.
Теорема
о промежуточных значениях: Если
функция
непрерывна
на отрезке
и
принимает на его концах неравные
значения
и 
,
то на этом отрезке она принимает все
промежуточные значения между A и
B.
Ге
ометрически
теорема показана на рисунке.
Для
любого числа С, заключенного между A и
B, найдется точка с внутри этого отрезка
такая, что 
.
Прямая y=C пересечет график функции по
крайней мере в одной точке.