
- •1Матрицы.Действия с матрицами
- •3.Миноры и алгебраические дополнения.Обратная матрица
- •1) Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •7. Векторы. Действия с векторам. Коллиниарность векторов
- •8.Линейная зависимость векторов
- •10. Понятие базис.Разложение вектора по базису.
- •11.Декартовая система координат. Направление косинуса вектора.
- •12. Скалярное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие.
- •13.Векторное произведение. Необходимое и достаточное условие векторов.
- •14. Смешанное произведение векторов. Компланарность векторов.
- •15. Плоскость в пространстве. Основные уравнения плоскости.
- •16. Расстояние от произвольной точки до плоскости. Условия перпендикулярности и параллельности прямых на плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •17. Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой
- •18. Переход от общего уравнения прямой к кононическому.
- •19. Взаимное расположение прямой в пространстве
- •20. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости.
- •21. Расстояние от произвольной точки до прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •22. Каноническое уравнение прямых второго порядка. Элипс, гипербола, парабола
- •23. Преобразование координат на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка у каноническому виду
- •24.Множества. Действительные числа. Логически символы. Окрестность точки
- •25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Теорема вейерштрасса.
- •26. Определение функции. Способы задания функции. Основные характеристики функций. Элементарные функции.
- •27. Предел функции в точке.
- •28.Предел функции при X→∞. Односторонние пределы.
- •29. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малые и бесконечно большие функций.
- •30. Связь бесконечно малых и бесконечно больших. Их свойства.
- •31. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой величиной.
- •32. Признак существования предела функции. Первый замечательный предел. Первый замечательный предел
- •33. Основные свойства пределов функций. Основные типы неопределенностей.
- •Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
- •34. Второй замечательный предел. Три формы записи второго замечательного предела.
- •35. Эквивалентные бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых.
- •36. Непрерывность функции в точке. Три определения непрерывности.
- •37. Точки разрыва функции и их классификация
- •38. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •39. Свойства функций непрерывных на отрезке. Геометрическая интерпретация этих свойств.
25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Теорема вейерштрасса.
Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, … , n –1, n, … .
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:
u1 , u2 , u3 , …, un 1 , un , …, кратко обозначаемый { un }
и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательностьзадаётся некоторой формулой un = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).
П р и м е р ы числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, … ряд натуральных чисел ;
2, 4, 6, 8, 10, … ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … числовая последовательность
приближённых
значений
с увеличивающейся точностью.
В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.
Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a приувеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгоеопределение.
Это
определение означает, что a
есть предел числовой
последовательности, если её общий член
неограниченно приближается к a
при возрастании n.
Геометрически это значит, что для
любого
>
0 можно
найти такое число N,
что начиная с n > N
все члены
последовательности расположены внутри
интервала ( a
a
).
Последовательность, имеющая предел,
называется сходящейся;
в противном случае – расходящейся.
Последовательность
называется ограниченной,
если существует такое число M,
что | un
|
Mдля
всех n . Возрастающая
или убывающая последовательность
называется монотонной.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).
Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.
Если { un } и { vn } две сходящиеся последовательности, то:
Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам
Некоторые замечательные пределы.
Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:
Пусть
при
каждом вещественном значении
переменной
является
однозначно определенной, вещественной
и непрерывной функцией, абсолютное
значение которой не превосходит некоторой
границы... Пусть
обладает
теми же свойствами, что и
,
и к тому же нигде не меняет своего знака,
удовлетворяет равенству
и
для нее сходится интеграл
,
который
можно обозначить как
.
Если положить
,
то
.
Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен , но и что сходимость равномерная по , меняющемся на любом конечном отрезке.
Взяв в качестве
,
видим,
что
вполне
определены при всех комплексных
и
являются целыми
функциями.
Поэтому их можно равномерно в круге
любого радиуса приблизить полиномами
(одна из теорем Абеля). Отсюда сразу
следует, что любую непрерывную
функцию
можно
равномерно приблизить полиномами на
любом конечном интервале. Для установления
теоремы в сформулированной выше форме
достаточно заметить, что любую функцию,
заданную и непрерывную на отрезке, можно
непрерывно продолжить на всю вещественную
ось.
Более
того. Если к тому же
периодическая
функция с периодом
,
то
являются
целыми периодическими функциями. Но
тогда
является
однозначной и голоморфной функцией в
области
и,
сл-но, разлагается в ряд
Лорана
,
поэтому , а значит и можно приблизить тригонометрическими полиномами.