18. Переход от общего уравнения прямой к кононическому.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим или параметрическим уравнениям

 

Для того, чтобы от общих уравнений    перейти к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор   этой прямой и координаты любой точки  , принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям   и    к обеим плоскостям, следовательно,    коллинеарен их векторному произведению   . Поэтому в качестве   направляющего вектора можно выбрать    или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные   найти из уравнений  , выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

 

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой   .

Решение. По условию  ,  тогда  . Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор  .

Будем искать точку на прямой с координатой  . Для координат   и   получим систему уравнений  , откуда   ,  . Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

 

.

 

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

 

  или  .

 

Пример. Привести общие уравнения прямой   к каноническому виду.

 

Решение. Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например,   и решив систему уравнений   найдем  .

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую, имеют координаты  ,  . Поэтому направляющий вектор прямой будет  . Следовательно,  .

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси  . Тогда направляющий вектор прямой   перпендикулярен

  , следовательно,   и параметрические уравнения прямой примут вид  . Исключаяиз уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде  .

Однако, и в этом случае, формально записывают канонические уравнения прямой в виде  .

Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям   соответствует прямая перпендикулярная осям   и   или параллельная оси  .

Пример. Записать уравнение прямой    в параметрическом виде.

Решение. Обозначим  , отсюда 

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку   параллельно вектору   .

Решение. Канонические уравнения:    или    .

Параметрические уравнения:   или  .

19. Взаимное расположение прямой в пространстве

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

  

                                           рис.6.

     

                                           рис.7.

        

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость   задана общим уравнением

                           ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                               ,    ,

в которых   – координаты нормального вектора плоскости  ,   – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,    –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если  , то прямая L пересекает плоскость   в точке,координаты которой   можно найти из системы уравнений

              ;           (7)

2) если   и  , то прямая лежит на плоскости;

3) если   и  , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие   говорит о том, что вектроры   и   не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если  , то это означает, что  . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка  . Если  , то точка   – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если  , а  , то точка напрямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.