Теорема про рух центра мас в механічній системі. Тоді рівняння 2 закону Ньютона:
(4.12)
– радіус-вектор
центра мас.
В проекції на координати осі x, y, z радіус-вектора центра мас. Або що те ж саме координати центра мас визначаємо за формулами:
Рівність (4.12) виражає другий закон Ньютона для матеріальної точки в центрі мас механічної системи, якщо маса цієї точки рівна сумі мас, що входять в цю систему і до неї прикладена сила, рівна головному вектору усіх зовнішніх сил.
Теорема: Центр мас механічної системи рухаються як вільна матеріальна точка , маса якої рівна масі усієї системи і на яку діє сила , рівна головному вектору усіх зовнішніх сил. Проектуючи (4.12) на осі нерухомої системи координат Аξηζ і отримуємо:
(4.13)
В рівнянні (4.13) називається диференційним рівнянням руху центра мас.
Закони збереження кількості руху механічної системи.
Нехай механічна система є замкнутою, тобто на точки системи не діють зовнішні сили, тоді з формули (4.4) слідує:
(4.14)
де Q – визначається з початкової умови руху.
Якщо
при
швидкість точок механічної системи
рівна
,
то наша
.
І тоді (4.14) приймає вигляд:
(4.15)
де
і
– компоненти руху механічної системи
відповідно кінцевий і початковий моменти
часу. Рівність (4.14) чи (4.15) виражають
закон збереження комплексів руху
замкненої механічної системи і в
інерційній системі відліку.
(4.16)
де
і
– швидкості центра мас механічної
системи відповідно в кінцевому і
початковому моментах часу.
Рівність (4.16) виражає закон збереження швидкості центра мас замкненої механічної системи рухається в інерційній системі відліку. Центр мас такої системи рухається з постійною швидкістю U=0.
Закон
збереження у вигляді (4.14) чи (4.16) є першим
інтегралом в рівнянні руху в векторній
формі. З (4.16) враховуючи, що
знаходимо
:
(4.17)
(4.17)
називається другим інтегралом в векторній
формі, де
– радіус-вектор центра мас в початковий
момент часу. (4.17) слідує, що в інерційна
система відліку рухається рівномірно
і прямолінійно.
28. Момент Інерції механічної системи.
Величину виражену через суму добутків мас точок системи на квадрат їх відстані до вісі точки або площини і характеризуючи розподіл мас даної системи відносно взятої вісі точки або площини називається моментом інерції механічної системи відповідно відносно вісі точки або площини. Момент інерції позначимо через І відповідно індексом вісі точки або площини, відносно якої визначається момент інерції. Вчення про ці величини носить назву геометрії мас механічних систем.
28.Момент
інерції матеріальної точки відносно
деякої вісі
(наприклад OZ)
називається добуток маси (m)
цієї точки на квадрат відстані (
)
її від даної осі:
(5.1)
Момент інерції механічної системи складається з n матеріальних точок відносно вісі називається сума моментів інерції кожної точки системи відносно цієї вісі:
(5.2)
Момент інерції механічної системи відносно вісі можна виразити у вигляді
(5.3)
де
радіус
інерції механічної системи відносно
вісі (вимірюються в одиницях довжини).
29. Момент інерції механічної системи відносно площини (План моменту інерції) називається скалярна величина яка дорівнює сумі добутків маси кожної точки даної системи на квадрат відстані від цієї точки до площини.
Рис. 5.1
(5.4)
де
,
,
-
моменти інерції відносно площин І-OXY,
II-OYZ,
III-OXZ.
У випадку твердого тіла ці суми переходять в відповідні інтеграли
(5.5)
30. Моменти інерції механічної системи відносно координатних осей. (Осьові моменти інерції) Квадрати найкоротших відстаней до цих осей дорівнюють:
(5.6)
(5.7)
31. Моментом інерції механічної системи відносно полюса називається величина рівна сумі добутків маси кожної точки механічної системи на квадрат відстані від цієї точки до полюса.
(5.8)
У випадку твердого тіла:
(5.9)
32.Відцентрований момент інерційної механічної системи називається величина що дорівнює сумі добутків мас кожної точки системи на дві її координати
(5.1)
У випадку твердого тіла
(5.11)
Відцентрований
момент інерції залежить від напрямку
координатних осей і від вибору початку
координат, через це говорять пор
відцентрований момент інерції в даній
точці розуміючи що початок координат
збігається з даною точкою. Відцентрований
момент інерції можуть перетворити в 0
і мати будь-який знак
.
Якщо всі центр обіжні моменти інерції рівні 0, то вісі координат називають головними осями інерції механічної системи в даній точці. Якщо ця точка знаходиться в центрі дії механічної системи то її вісі є головні відцентровані осі інерції. Встановимо залежність між полярними, осьовими та планерними моментами інерції. Для цього додамо ліві і праві частини рівнянь (5.6) з врахуванням (5.8)
(5.12).
Тобто сума осьових моментів інерції дорівнює подвоєному полярному моменту інерції добавляючи ліві і праві частини (5.4)
(5.13)
33. Теорема Гюйгенса (про момент інерції відносно паралельних осей): Момент інерції механічної системи відносно осей рівний сумі моменту інерції цієї системи відносно центральної осі, паралельної даній і похідній масі системи на квадрат відстані між осями.
Доказ
Рис. 5.2
Введемо нерухому систему координат OXYZ (рис5.2) з центром в точці О і розглянемо момент інерції механічної системи відносно осі OZ. Відповідно 5.2 маємо
(5.14)
Введемо
систему координат
з початком
в центрі мас системи з механічної системи
і осями паралельними OXYZ.
Тоді для добутку точки
механічної
системи отримуємо
де
,
координати точки
в системі координат OXYZ
.
,
-
координати цієї ж точки в системі
,
підставимо це в 5.14 і знаходимо
(5.15).
Перший додаток
цього співвідношення це момент інерції
механічної системи відносно системи
.
Другий додаток
можна вивести у вигляді (ФОРМУЛА) де d
– відстань
між осями
і
.
Третій додаток дорівнює 0, так як центр мас механічної системи точки С співпадає з початком координат системи
