17. Кругові рухи твердого тіла навколо нерухомої точки (сферичний рух)
Кругові рухи твердого
тіла навколо нерухомої точки називають
такий рух при якому одна точка тіла
залишається нерухомою. Цей рух також
називають сферичним, тому що траєкторія
всіх точок тіла при цьому русі розміщується
на поверхні сфер з центру в нерухомі
точки незалежних кутів однозначно
визначаючих положень цього тіла лише
3. В якості таких кутів Ейлером було
запропоновано : 1.
2.
3.
щоб
визначити кути Ейлера введемо дві
системи координат
і
рухому OXYZ
незмінно зв’язану з тілом що повертається
початок якої є точка О. що співпадає з
нерухомою точкою тіла (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Координатна площина
OXY
пересікається
з нерухомою
вздовж прямої
ОN,
що називається
лінією вузлів. Кут що складається з
нерухомої осі
з
лінією вузлів AN
називається вузлом прецесії
.
Кут який складається з лінії вузлів ON
з рухомою віссю OX
називається кутом власного обертання
.
Кут між осями
і
називається
кутом нутації
. Кути
рахуються проти ходу часової стрілки
якщо дивитись з кінця положень направлених
відповідній осі:
,
,
.
Знаючи кути Ейлера можна завжди визначити
положення системи координат OXYZ
або незмінно зв’язаного з
нею тіла.
Теорема Ейлера
Вільне переміщення твердого тіла навколо нерухомої точки можна здійснити за допомогою трьох поворотів навколо відповідно вибраних трьох осей. Оскільки кожному моменту часу t відповідає визначене положення тіла.
Так як кожному моменту часу відповідає певне положення тіла і певне значення кутів Ейлера, тоді функція залежності :
(1.1)
Вони
можуть бути прийняті в якості кінематичних
рівнянь руху твердого тіла обертаючись
навколо нерухомої точки. Одночасно вони
визначають закон його руху.
Це
в тому випадку
якщо
точка
нерухома система координат . Якщо точка
,
то при русі вільного твердого тіла це
положення в нерухомій системі координат
можна
задати трьома координатами
,
,
довільною точкою О і трьома незалежними
параметричними кутами Ейлера.
Кожному елементу часу відповідає визначена сукупність функцій:
(1.2)
(1.3)
Ці функціональні залежності визначають положення твердого тіла в нерухомій системі координат, їх можна прийняти в якості кінематичних рівнянь руху вільного твердого тіла і одночасно вони визначають закон його руху. Рівняння (1.2) буде описувати поступальну складову руху вільного твердого тіла. Вона характеризує рух полюса О. А рівняння полюса (1.3) обертаючу складову навколо полюса О. В момент часу t руху вільного твердого тіла можна розуміти як складне, яке складається з поступального руху разом з довільно вибраним полюсом і обертати як нерухомі точки кути Ейлера не залежать від вибору полюса О.
Розподіл швидкості:
18. Ця формула виражає теорему про розподіл швидкостей точок тіла здійснюючи сферичний рух.
Теорема: швидкість довільної точки тіла здійснюючого сферичний рух дорівнює обертальній швидкості цій точці відносно нерухомої точки тіла
19. Розподіл лінійного прискорення точок твердого тіла яке обертається навколо нерухомої точки
Теорема: Прискорення довільної точки тіла здійснюючого сферичний рух дорівнює векторній сумі обертального прямуючої до осі складової прискорення цієї точки.
,
