13.Формула Ейлера

Рис. 12.2

Нехай oxyz – рухлива система координат, незмінно пов’язана з тілом, вісь oz якої збігається з віссю обертання (рис12.3). Положення тіла G підраховуємо кутом 𝝋 щодо нерухливої система координат вісь від ζ якої збігається з віссю обертання тіла G. В цьому випадку орт К постійний, орти та змінюються в напрямку та будучи функціями часу. Тому

-

, (12.11)

Вектор омега, уведений по (12.11) завжди спрямований по осі обертання в ту сторону, звідки обертання тіла спостерігається, що відбуваються проти ходу годинної стрілки. Він визначає 3 елемента:

1. положення осі обертання тіла в нерухливій системі координат.

2. величину, що характеризує швидкість зміни кута повороту за одиницю часу

3. напрямок обертання тіла.

(12.12)

(12.12) - формула Ейлера

Вона встановлює картину розподілення швидкостей точки тіла, що обертається навколо нерухливої осі. З формули (12.12) отримуємо:

(12.13)

Модуль швидкості будь-якої т. М дорівнює добутку модуля тіла на відстань R від М до осі обертання. Напрямлений вектор швидкості по дотичній до окружності, по якій рухається т. М. Тобто напрямок вектора швидкості визначається векторним добутком (12.12).

14. Плоско-паралельний рух

Плоско-паралельним називається такий рух твердого тіла, при якому кожна його точка весь час рухається в одній площині, що паралельна деякій нерухомій площині, яка називається основною. Нерухома площина називається основною.

Рис. 12.3 Рис. 12.4

Для описання плоского руху потрібно три незалежні координати, як функції часу. Тобто, дане тіло володіє трьома степенями волі. Визначаємо положення плоскої фігури в площині рухомої системи oxy, незмінно зв’язаної з нерухомою Аξɳ (рис. 12.4)

Розташування рухомої системи координат відносно нерухомої визначається координатами полюса , що співпадає з початком рухомої системи координат і кутом між розташуваннями напрямками осей ох і Аξ.

Відповідно отримуємо рівняння (12.14)

(12.14)

Функція (12.4) – кінематичні рівняння плоско-паралельного руху.

15. Розподіл швидкостей і прискорень при плоско-паралельному русі

Введемо дві системи координат: нерухому Aξɳζ (рис 12.4) і рухому oxyz, незмінно пов’язану з тілом. Початок рухомої системи співпадає з початком нерухомої.

Рис 12.5

Якщо вісі Аξ і oᵶ, s, а отже орт постійний, то кутова швидкість :

При плоско-паралельному русі тверді тіла величина кутової швидкості являє собою вектор, що характеризує швидкість зміни кута , який змінюється у часі за законом:

і напрямлений перпендикулярно до основної площини а, проекції вектора кутової швидкості.

При , напрямок вектора співпадає.

При , напрямок буде протилежним.

(12.15)

Вектори і не залежать від вибору т. М в тілі, ні від вибору полюса O і використовуються в якості кінематичних характеристик. Скористаємося тепер теоремами про розподіл швидкості і прискорень точок.

Теорема Ейлера: швидкість будь-якої точки вільного твердого тіла рівна векторній сумі швидкості довільно обертаючій швидкості.

Доведення:

(12.16)

Вектор не змінюється в системі координат oxyz , звідси другий доданок буде рівний:

– це похідна від часу від вектора в рухомій системі координат називається відносною або локальною.

– швидкість полюса.

– цей вектор називається обертаючою швидкістю т. М відносно полюса O.

(12.17)

(12.18)