2.1.3 Алгоритм определения параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов в Excel.

Рассмотрим нахождение коэффициентов эмпирической функции регрессии с помощью Microsoft Excel

Для нахождения коэффициентов эмпирической функции регрессии с помощью Microsoft Excel используется функция «Поиск решения».

1. В меню Сервис выберите команду Поиск решения

2. Если команда Поиск решения отсутствует в меню Сервис, установить надстройку «Поиск решения» для этого

   • Выполнить команду Сервис – Надстройки

   • и в Д.О. Надстройки установите флажок надстройки «Поиск решения»

   • а затем нажмите кнопку OK.

Рассмотрим, как решается задача оптимизации с помощью средства Поиск решения на примере построения линейного уравнения регрессии для однофакторной (парной ) зависимости.

Решим тот же пример, что решали раньше. Т.е. имеются две наблюдаемые величины x и y, например, объем реализации фирмы, торгующей подержанными автомобилями, за шесть недель ее работы. Значения этих наблюдаемых величин приведены в таблице 2.3, где х – отчетная неделя, а y – объем реализации за эту неделю.

Таблица 2.3 – Значения наблюдаемых величин

x	1	2	3	4	5	6
y	7	9	12	13	14	17

Необходимо получить уравнение регрессии данной зависимости.

Идеальное уравнение регрессии должно достаточно точно представлять экспериментальные данные и одновременно быть достаточно простым, т. е. иметь как можно меньше коэффициентов. Понятно, что не всегда удается удовлетворить этим двум, вообще говоря, противоречивым условиям, поэтому часто приходится жертвовать или простотой формулы, или ее точностью.

Остановимся на линейной модели y=а1+а2*х, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения.

Рисунок 2.4 – Нахождение в Excel значений параметров уравнения регрессии

Согласно методу наименьших квадратов, m и b подбирают так, чтобы минимизировать

Для решения этой задачи отведем под параметры а1 и а2 ячейки I3 и J3 соответственно (При этом предполагаем а1=1 и а2=1). А в ячейку I5 введем минимизирующую функцию по формуле:

=СУММ(B6:G6).

Рисунок 3.2 – Диалоговое окно Поиск решения

Минимизирующую функцию можно также ввести как = СУММКВРАЗН(B2:G2:C7;B4:G4). Функция СУММКВРАЗН вычисляет сумму квадратов разностей для элементов указанных массивов.

Теперь выберем команду Сервис-Поиск решения и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения, как показано на рисунке 3.2

На рисунке 3.3 представлены графики данных и теоретических вычислений

Рисунок 2.5 – Графики данных и теоретических вычислений

Очень важной характеристикой регрессионных зависимостей является мера их достоверности, которая оценивается величиной R² (коэффициент детерминированности) находящейся в пределах

0<= R²<=1

При R² =0 величины, для которых определяются уравнения регрессии, являются независимыми; при R² =1 имеет место функциональная зависимость. Принято считать R²>=0,7

Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т. е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y

Рассмотрим, как решается задача оптимизации с помощью средства Поиск решения на примере построения линейного уравнения регрессии для многофакторной зависимости.

Необходимо определить эмпирическое уравнение регрессии, устанавливающее зависимость цены изделия от:

1. производительности (кол-во операций в час)

2. времени наработки на отказ в днях (качественная характеристика)

Производи- тельность	x1	120	200	300	400	500	860
Время наработки на отказ	x2	450	960	145	212	265	312
Цена изделия	y	4500	8000	3000	5500	5400	6500

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	Исходные данные						m1	m2	b
2	Модель	Производ.	Качество	Цена			3,88	5,686116	1721,33
3		х1	х2	у			y=m1*x1+m2*x2+b
4	1	120	450	4500			4746	60591,43		s
5	2	200	960	8000			7957	1867,363		1773102,044
6	3	300	145	3000			3711	505515,7
7	4	400	212	5500			4480	1039667
8	5	500	265	5400			5170	52846,17
9	6	860	312	6500			6836	112614,6
10

Т.е. получили линейное эмпирическое уравнение регрессии в виде:

Y=3,88*x1+5,69*x2+1721,33