21. Доказуемые формулы.

Определение доказуемой формулы: 

1) всякая аксиома является доказуемой формулой;

2) формула, полученная из доказуемой формулы путем применения подстановки вместо переменной х 

произвольной формулы В есть доказуемая формула;

3) формула В, полученная из доказуемых формул А и А->В путем применнения правила заключения, есть 

доказуемая формула;

4) никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой.

Процесс получения доказуемых формул будем называть доказательством.

22. Аксиомы исчисления высказываний.

Первая группа аксиом: 

1. Х->(У->Х)

2. (Х->(У->Z))->((X->Y)->(X->Z))

Вторая группа аксиом:

1. х&у->х

2. х&у->у

3. (z->x)->((z->y)->(z->x&y))

Третья группа аксиом:

1. х->хvy

2. y->xvy

3. (x->z)->((y->z)->(xvy->z))

Четвертая группа аксиом:

1. (х->у)->(не у -> не х)

2. Не не х -> х

3. Х-> не не х

23. Правила вывода в исчислении высказываний.

Понятие вывода.

Выводом из конечной совокупности формул Н называется всякая конечная последовательность формул, всякий 

элемент которой удовлетворяет одному из следующих трех условий:

- он является одной из формул совокупности Н,

- он является доказуемой формулой,

- он получается по правилу заключения из двух любых предшествующих членов последовательности В1, В2,..., Вк. 

Как было показано в предыдущем примеру, выводом из совокупности формул Н={А,В} является конечная 

последовательность формул:

а, В, (А->А)->((А->В)->(А->А&В)), В->(А->В)

А->А, (А->В)->(А->А&В), А->В, А->А&В, А&В. 

Если же здесь воспользоваться правилом сложного заключения, то вывод можно записать так:

А, В, (А->А)->((А->В)->(А->(А&В)), В->(А->В), А->А, А->В, А&В.

Классическое исчисление высказываний использует два правила вывода:

Modus ponens. Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия импликации: α, α├ .

Правило одновременной подстановки. Из формулы α(р), где р – переменная, выводима формула α(R), где R – формула, получаемая заменой в α(р) каждого вхождения переменной р на формулу R: α (р) ├ α (R). В общем случае будем обозначать подстановку (x₁,…, x_n α₁,…, α_n).

24. Понятие выводимости формулы.

Понятие выводимости формул из совокупности формул.

Будем рассматривать конечную совокупность формул Н={А₁,А₂,…,А_n}.

Определение формулы, выводимой из совокупности Н.

1)Всякая формула А_i ,является формулой, выводимой из Н.

2) Всякая доказуемая формула выводима из Н.

3) Если формулы С и С→В выводимы из совокупности Н, то формула В также выводима из Н.

Если некоторая формула В выводима из совокупности Н, то это записывают так: Н├В.

Нетрудно видеть, что класс формул, выводимых из совокупности Н, совпадает с классом доказуемых формул в случае, когда совокупность Н содержит только доказуемые формулы, и в случае, когда Н пуста.

Если же совокупность формул Н содержит хотя бы одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводимых из Н, шире класса доказуемых формул.

Пример.

Доказать, что из совокупности формул Н={А ,В} выводима формула .

Так как А и В , то по определению выводимой формулы

Н├А, (1)

Н├В. (2)

Возьмемксиомы и , и выполним подстановки и .

В результате получим доказуемые формулы, которые выводимы из Н по определению выводимой формулы, т. е.

Н├(А→А)→((А→В)→(А )), (3)

Н├В→(А→В), (4)

Так как формула А→А доказуема, то Н├А→А. (5)

Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем: Н├(А→В)→(А )). (6)

Из формулы (2) и (4) по правилу заключения получаем: Н├А→В. (7)

Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем: Н├А . (8)

И, наконец, из формул (1) и (8) получаем:

Н├ (9)

Ясно, что при доказательстве выводимости формулы из совокупности формул можно пользоваться не только основным правилом заключения, но и правилом сложного заключения. Тогда, пользуясь этим правилом , предложение (9) можно получить из предложений (5), (7), (1) и (3).