15. Разбиения и покрытия множеств.

Если множество V – объединение подмножеств V1, V2, … Vn, …, то совокупность подмножеств {V1, V2, … Vn, …} называется покрытием множества V.

Если совокупность подмножеств покрытия множества V такова, что Vi∩ Vj= ∅ при i ≠ j, то совокупность {V1, V2, … Vn, …} называется разбиением множества V, а подмножества Vi – классами этого разбиения, i = 1, 2, … n, …

16. Свойства операций над множествами. Свойства операций над множествами

17. Упорядоченные пары. Декартово произведение множеств.

Декартово (прямое) произведение множеств.

Определение. Пусть   – элементы каких-то множеств (не обязательно одного множества). Две пары элементов   и   будем называть равными и писать  , если   и  .

Такие пары называют упорядоченными парами, т.е. пару элементов  называют упорядоченной парой, если   при  .

Определение. Декартовым (прямым) произведением множества А на множество В называют множество всех упорядоченных пар  , где первый элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается  .

Иначе,  . Здесь знак   означает равенство по определению.

Пример. Пусть   – множество первых восьми букв латинского алфавита.   – множество первых восьми натуральных чисел. Тогда декартово произведение множества А на множество В есть множество  . Для удобствазаписи все элементы этого множества можно записывать проще:   и мы получаем обозначение всех 64 клеток шахматной доски.

18. Отношения. Композиция, степень и ядро отношения.

Определение:

Бинарным отношением   из множества   в множество   называется подмножество прямого произведения   и   и обозначается:  .

Часто используют инфиксную форму записи:  .

Если отношение определено на множестве  , то возможно следующее определение:

Определение:

Бинарным (или двуместным) отношением   на множестве   называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений (англ. composition of binary relations)   и   называется такое отношение  , что:  .

Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве   населенных пунктов   - отношение "можно доехать на поезде", а   - отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение   - отношение "можно добраться из пункта А в пункт Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе (только по одному разу)".

[Править]Степень отношений

Определение:

Степень отношения  , определяется следующим образом: ;

В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:

 — Транзитивное замыкание отношения R

Определение:

Ядром отношения R называется отношение