13. Операции над множествами.

Операции над множествами. B}A или xB={x|x1) объединение: множество тех элементов х, которые принадлежат хотя бы одному множеству. A В}.A и хB={x|x2) пересечение: общие элементы A B}A и x3) разность множеств.A\B={x|x A}.В, то xB; xA, то x_B={x|x4) симметрическая разность A Иногда бывает удобно все рассматриваемые множества в некоторой теории считать подмножествами некоторого одного множества, которое в этом случае зовут универсальным U. AA- дополнение множества А. Это есть U/A=5) Булева алгебра множеств. Алгеброй зовут некоторое множество с введенными на нем операциями: A=- операции., где М- носитель, Школьная алгебра: A=. Возьмем U: A=- булева алгебра. 1) переместительный закон: AИB=BИA; AЗB=BЗA; 2) сочетательный закон: AИ(BИC)=(AИB)ИC; AЗ(BЗC)=(AЗB)ЗC 3) распределительный закон: AИ(BЗC)=(AИB)З(AИC); AЗ(BИC)=(AЗB)И(AЗC); 4) Not(not(A))=A – дополнение дополнения есть само дополнение 5) AИ0=A; AЗ0=0 6) AИU=U; AЗU=A; 7) AИA=A; AЗA=A 8) AИ`A=U; AЗ`A=0 9) закон поглощения AИ(AЗB)=A; AЗ(AИB)=A 10) закон де Моргана: not(AИB)= `AЗ`B; not(AЗB)= `AИ`B

14. Диаграммы Эйлера-Венна.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

О перации над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

 

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

 

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

 

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

предыдущаяследующая

 

 

О пределение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

 

Пример 5. С помощью диаграмм Эйлера – Венна проиллюстрируем справедливость соотношения   (рис. 6).

Рис.6

Убедились, что в обоих случаях получаем равные множества. Следовательно, исходное соотношение справедливо.