Закон двойственности Закон двойственности

         Пусть формула А содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

 

            Будем называть операцию конъюнкции двойственной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции двойственной операции конъюнкции.

 

            Определение. Формулы А и А* называются двойственными,если формула А* получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

 

            Например, для формулы  двойственной формулой будет формула  .

 

            Справедлива теорема.

 

            Теорема 1.2. Если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, то есть А*≡В*.

8. Дизъюнктивная нормальная форма (днф и сднф).

ДНФ

Определение:

Простой конъюнкцией или конъюнктом называется конъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.

Простая конъюнкция

• полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно 1 раз;

• монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Определение:

ДНФ (Дизъюнктивная Нормальная Форма) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид дизъюнкции нескольких простых конъюнктов.

Пример ДНФ: 

[Править]сднф

Определение:

СДНФ (Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет условиям: в ней нет одинаковых простых конъюнкций каждая простая конъюнкция полная

Пример СДНФ: 

9. Конъюнктивная нормальная форма (кнф и скнф).

КНФ

Определение:

Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.

Простая дизъюнкция

• полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно 1 раз;

• монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Определение:

КНФ (Конъюнктивная Нормальная Форма) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.

Пример КНФ: 

[Править]скнф

Определение:

СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям: в ней нет одинаковых простых дизъюнкций каждая простая дизъюнкция полная

Пример СКНФ: 

10. Проблема разрешимости.

Проблемы разрешимости формул.

Всё множество правильно построенных формул можно разбить на 3 класса: тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые. Тождественно истинные формулы (общезначимые или тавтологии) – это особый класс сложных высказываний, которые принимают значение только true при любом наборе пропозициональных переменных. ^ Тождественно ложные формулы (противоречия) – это особый класс сложных высказываний, которые принимают значение только false при любом наборе пропозициональных переменных. ^ Выполнимые формулы – это сложные высказывания, которые принимают значения true или false для различных наборов пропозициональных переменных. Отнесение формулы к тому или иному классу не имеет единого алгоритма, поэтому эта проблема получила название проблемы разрешимости ИВ.