30. Кванторные операции.

Кванторные операции.

Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания.

Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М. Если “а” – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называют единичным. Например, r(x): “х – четное число” – предикат, а r (6)- истинное высказывание, r (3) – ложное высказывание.

Это же относится и к n – местным предикатам: если вместо всех предметных переменных х_i, i= подставить их значения, то получим высказывание.

Наряду с образованием из предикатов высказываний в результате таких подстановок в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Эти операции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов). При этом рассматриваются, соответственно, два типа так называемых кванторов.

1. Квантор всеобщности.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Для всякого х Р(х) истинно ”.

Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

2. Квантор существования.

Пусть P(x) -предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x, при котором P(x) истинно.” Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

Рассмотрим предикат P(x) определенный на множестве M={a₁,…,a_n}, содержащем конечное число элементов. Если предикат P(x) является тождественно - истинным, то истинными будут высказывания P(a₁),P(a₂),…,P(a_n). При этом истинными будут высказывания и конъюнкция .

Если же хотя бы для одного элемента P(a_k)окажется ложным, то ложными будут высказывание и конъюнкция . Следовательно, справедлива равносильность .

Численные кванторы.

В математике часто встречаются выражения вида “по меньшей мере n” (“хотя бы n”), “не более чем n”, “n и только n” (“ровно n”), где n – натуральное число.

Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл; они могут быть заменены равнозначными выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака или ~, означающего тождество (совпадение) объектов.

Пусть n=1. Предложение “По меньшей мере один объект обладает свойством P” имеет тот же смысл, что и предложение “Существует объект, обладающий свойством P”, т.е. (*)

Предложение “не более чем один объект обладает свойством P” равнозначно предложению “Если есть объекты, обладающие свойством P, то они совпадают”, т.е. (**) Предложение “один и только один объект обладает свойством P” равнозначно конъюнкции вышеуказанных предложений (*) и (**).