27. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний.

Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний.

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого будем трактовать переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, т. е. переменные в содержательном смысле, принимающие два значения: истина и ложь (1 и 0).

Операции определим так же, как в алгебре высказываний.

При этом всякая формула исчисления высказываний при любых входящих в нее переменных будет принимать одно из значений 1 или 0, вычисляемое по правилам алгебры высказываний.

Введем понятие значения формулы исчисления высказываний. Пусть А- формула исчисления высказываний, х₁,х₂,…,х_n- попарно различные переменные, среди которых находятся все переменные, входящие в формулу А. Обозначим через а₁, а₂,…,а_n набор значений этих переменных, состоящих из 1 и 0, длины n. Очевидно, что вектор (а₁, а₂,…,а_n) имеет 2ⁿ значений.

Имеют место три теоремы, которые устанавливают связь между основными фактами алгебры высказываний и исчисления высказываний.

Теорема 1.

Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре высказываний.

Формулировка этой теоремы содержит в себе три положения:

1)Каждая аксиома исчисления высказываний – тождественно истинная формула в алгебре высказываний.

2)Правило подстановки, примененное к тождественно истинным формулам, приводит к тождественно истинным формулам.

3)Правило заключения, примененное к тождественно истинным формулам, приводит к тождественно истинным формулам.

Теорема 2.( о выводимости).

Пусть А –некоторая формула исчисления высказываний; х₁,х₂,…,х_{n –} набор переменных, содержащих все переменные, входящие в формулу А; а₁, а₂,…,а_n – произвольный фиксированный набор значений этих переменных. Обозначим через Н конечную совокупность формул

, где

Тогда:

1. Если R_a1,a2,..,an(A)=1, то H├A .

2. Если R_a1,a2,..,an(A)=0, то H├ , где R_a1,a2,..,an(A)–значение формулы А на наборе а₁, а₂,…,а_n.

Теорема 3.

Каждая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.

28. Основные понятия логики предикатов.

11. Исчисление предикатов. Основные понятия.

В то время, как исчисление высказываний проявляет интерес только к внешним связям простых повествовательных предложений, исчисление предикатов проникает внутрь предложения, исследуя связи между его составными частями. Основной частью любого высказывания является понятие, как форма отражения реальной действительности предмета, факта, явления, события или процесса в наиболее существенных признаках. При этом формой существования понятия в естественном языке является слово или группа слов, раскрывающая признаки предмета или признаки отношений между предметами. Множество существенных признаков предмета, факта, явления, события или процесса называют содержанием понятия. Множество предметов, фактов, явлений, событий или процессов, описываемых одним понятием, называют объёмом понятия. Содержание понятия обратно пропорционально объёму понятия. Логическую функцию, которая позволяет раскрыть признаки предмета, факта, явления, события или процесса или признаки отношений между ними называют предикатом (лат. predicatum – логическое сказуемое). Для обозначения предиката используют символ P. Если логическая функция содержит один аргумент, то говорят, что область определения предиката задана объёмом одного понятия. Если логическая функция содержит n аргументов, то говорят, что область предиката задана объёмами n понятий. Область определения принято обозначать символом M. Аргументы логической функции называют предметными переменными и обозначают латинскими буквами x, y, … . Если предметной переменной придать значение конкретного предмета, факт, явления, события или процесса, то её называют предметной постоянной. Предметные постоянные обозначают строчными буквами латинского алфавита a, b, c, … . Предикат с n аргументами называют n-местными. Одноместный предикат, как правило, определяет атрибутивное суждение о наличии или отсутствии отношений между предметами. Область определения предиката чаще всего обозначают так Pⁿ или Pⁿ(x), подчёркивая число аргументов n. При замещении предметных переменных именами конкретных предметов, фактов, явлений, событий или процессов логическая функция превращает предикат в высказывания, могущее принимать значение true или false. Между элементами области определения предиката могут быть заданы функциональные отношения, т. е. задана некоторая структура внутри области определения предиката при задании функционального отношения. Если в области определения предиката задана n-местная функция, то ей соответствует (n + 1)-местный предикат, сравнивающий запись и значение функции (“быть равным”, “быть эквивалентным”, “быть больше” и т. п.). Имена элементов области определения предиката (предметные переменные, предметные постоянные и элементы, заданные функциональными отношениями) получили название терм – t. Для указанных функциональных отношений используют функциональные символы f, а для обозначения числа аргументов этих отношений используют верхние индексы, т. е. fⁿ(x). Предикат, аргументами которого являются термы получил название формулы F = Pⁿ(t₁; t₂;… t_n). Суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо признаков у части предметных переменных предиката, называют частным суждением. Как правило, эти суждения на естественном языке отражают словами “некоторые”, “часть” и т. п. Для формализации этих суждений используют логическую операцию, ограничивающую область определения предиката. Оператор этой логической функции получил названия квантора существования. Этот оператор имеет обозначение _x. Использование квантора существования связывает предметную переменную ограниченной областью определения предиката. Выражение предиката записывают после квантора существования в круглых скобках _x(Pⁿ(x)). На естественном языке эта формальная запись означает: “существуют такие элементы x, что Pⁿ(x) истинно (или ложно). Суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо признаков или отношений для всех предметов области определения предиката, называют общими суждениями. Как правило, эти суждения в естественном языке отмечают словами “все”, “каждый”, “любой” и т. п. Для формализации этих суждений используют логическую операцию, оценивающую всю область определения предиката. Оператор этой логической операции получил названиеквантора общности. Этот оператор обозначают так: _x. Использование квантора общности связывает предметную переменную предиката и формирует сложное высказывание, принимающее значение true или false для конкретного значения x_i = a_i только в области действия квантора _x. Выражение предиката записывают после квантора общности в круглых скобках _x(Pⁿ(x)). На естественном языке эта формальная запись означает: “для всех x истинно (или ложно) значение P(x)”. Квантор общности или существования с предикатом, аргументами которого являются термы, называют также формулой F, т. е. F = _t(Pⁿ(t)) или F = _t(Pⁿ(t)). Если предметная переменная x предиката P(x) находится в области действия квантора, то её называют связной переменной формулы, в противном случае – свободной переменной. Предметная переменная свободна в формуле, если по крайней мере одно её вхождение свободно, и связана, если по крайней мере одно её вхождение связано.