Трендовые значения объясняемой переменной

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Далее строится совмещенный график исходного эмпирического ряда и его тренда.

Критерий принятия решения есть результат визуальной оценки адекватности тренда эмпирическому ряду

.

9) Провести оценку качества трендовой модели в целом.

Для оценки качества трендовой модели в целом необходимо рассмотреть ряд остатков – разностей значений ряда и значений тренда:

e_t = y_t - .

Впервые ряд остатков составлен в таблице J, предназначенной для вычисления стандартной ошибки коэффициента b.

Для оценки качества трендовой модели проверяют следующие гипотезы:

а) о случайности ряда остатков методом поворотных точек (поворотная точка – точка экстремума, то есть точка, в которой значение элемента ряда остатков одновременно больше или меньше, чем значения в соседних точках); число таких точек d можно найти по графику ряда остатков. Среднее число точек поворота для случайного ряда и их дисперсия находятся по эмпирическим формулам:

Затем вычисляют статистику .

Критерий принятия решения. Если < 1,96 (для коротких рядов), то гипотеза о случайности ряда остатков принимается и на уровне значимости 5% можно сделать вывод о том, что построенный тренд существует (высокого качества);

б) о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю по статистике

где - среднее значение ряда остатков, - среднее квадратическое отклонение ряда остатков; на 5% уровне значимости вычисленное значение T сравнивается с критическим значением T_кр, взятым из таблицы M c (n – 1) степенями свободы:

Таблица M

Критические значения распределения Стьюдента

k	3	5	7	10	13	16	20	30
Tкр	3,18	2,57	2,45	2,23	2,16	2,12	2,09	2,04	1,96

Критерий принятия решения. Если вычисленное значение статистики окажется меньше критического ее значения (T < T_кр), то гипотеза о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю принимается и модель на уровне значимости 5% считается адекватной;

в) об отсутствии автокорреляции ряда остатков; при этом используется критерий Дарбина-Уотсона со статистикой DW:

Если DW следует использовать вспомогательную статистику

Расчетное значение DW (или ) сравнивается с верхним D₂ и нижним D₁ критическими значениями статистики DW, представленными в таблице N, для различной длины ряда n и числа определяемых параметров k на уровне значимости 5% (0,05).

Таблица N

Критические значения статистики DW для различной длины ряда n и числа определяемых параметров k на уровне значимости 5%

n	K=1		K=2		K=3
	D1	D2	D1	D2	D1	D2
10	0,98	1,34	0,94	1,52	0,67	1,72
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75
20	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65

Критерий принятия решения. Если расчетное значение статистики DW больше верхнего табличного значения D₂, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, то есть об отсутствии в ней автокорреляции, принимается.

Если значение DW меньше нижнего табличного значения D₁, то эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Если же значение D находится между значениями D₂ и D₁, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод, и необходимы дальнейшие исследования, например, по большей выборке данных.

г) о возможности осуществления оценки соответствия тренда статистическим данным с помощью коэффициента детерминации; известно, что коэффициент детерминации R² является суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (его соответствия статистическим данным)

В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле

Для этого коэффициента в общем случае справедливо соотношение 0  R^  1.

Критерий принятия решения. Чем R² ближе к нулю, тем слабее линейная связь между X и Y и тем менее качественным является тренд; чем ближе R² к единице, тем эта связь значительнее и тренд качественнее.

Коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая .

Трендовая модель считается адекватной, если подтверждена большая часть гипотез.

Примечание. Решение рассматриваемого задания удобно начать с составления таблицы P .

Таблица P

Таблица трендовых значений и значений остатков ряда

t	yt		= yt -				-	( - )2
1	51
2	55
3	62
4	70
5	81
6	75
7	116
8	115
9	125
10	120
 = ?								= ?

Для нахождения статистики

составляется таблица Q (в этой таблице первые два столбца составлены на основе четвертого столбца таблицы P)

Таблица Q

Таблица промежуточных вычислений для нахождения статистики DW

			2
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
?	?	?	?
				= ?