
- •Матрицы.Действия с матрицами
- •3.Миноры и алгебраические дополнения.Обратная матрица
- •1) Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •7. Векторы. Действия с векторам. Коллиниарность векторов
- •8.Линейная зависимость векторов
- •10. Понятие базис.Разложение вектора по базису.
- •11.Декартовая система координат. Направление косинуса вектора.
- •12. Скалярное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие.
- •13.Векторное произведение. Необходимое и достаточное условие векторов.
- •14. Смешанное произведение векторов. Компланарность векторов.
- •15. Плоскость в пространстве. Основные уравнения плоскости.
- •17. Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой
- •18. Переход от общего уравнения прямой к кононическому.
- •19. Взаимное расположение прямой в пространстве
- •20. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости.
- •21. Расстояние от произвольной точки до прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •22. Каноническое уравнение прямых второго порядка. Элипс, гипербола, парабола
- •Классификация кривых второго порядка[править | править исходный текст] Невырожденные кривые[править | править исходный текст]
- •Вырожденные кривые[править | править исходный текст]
- •23. Преобразование координат на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка у каноническому виду Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости
- •24.Множества. Действительные числа. Логически символы. Окрестность точки
- •2. Операции над множествами
- •25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Теорема вейерштрасса.
- •26. Определение функции. Способы задания функции. Основные характеристики функций. Элементарные функции.
- •27. Предел функции в точке.
- •Свойства пределов числовых функций[править | править исходный текст]
- •28.Предел функции при X→∞. Односторонние пределы.
- •29. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малые и бесконечно большие функций.
- •30. Связь бесконечно малых и бесконечно больших. Их свойства.
- •31. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой величиной.
- •32. Признак существования предела функции. Первый замечательный предел. Первый замечательный предел
- •33. Основные свойства пределов функций. Основные типы неопределенностей.
- •Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
- •34. Второй замечательный предел. Три формы записи второго замечательного предела.
- •35. Эквивалентные бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых.
- •36. Непрерывность функции в точке. Три определения непрерывности.
- •37. Точки разрыва функции и их классификация
- •38. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •39. Свойства функций непрерывных на отрезке. Геометрическая интерпретация этих свойств.
35. Эквивалентные бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых.
Функция
называется бесконечно
малой при
(или
в точке
),
если
Подробная теория про бесконечно малые функции по ссылке.
Пример
Функция
является
б.м. при
,
так как
Бесконечно малые функции одного порядка
Пусть
и
-
две б.м. функции при
.
Определение
Функции
и
называются
б.м. одного порядка малости при
,
если
Пример
Рассмотрим
функции
и
,
которые являются б.м. при
:
Найдем предел отношения этих функций при :
Так как предел равен конечному, отличному от нуля числу, то рассматриваемые функции и являются б.м. одного порядка малости при .
Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков
Определение
Если
,
то
является б.м.
более высокого порядка при
,
чем
,
а
- б.м.
более низкого порядка по сравнению
с
:
при
.
Пример
Функция
,
является
б.м. более высокого порядка, чем
функция
,
в
точке
,
так как
Определение
Если
,
то
- б.м.
низшего порядка малости при
по
сравнению с
.
Пример
Рассмотрим
функцию
,
которая является б.м. в точке
:
,
и б.м. в этой же точке функцию
:
.
Найдем предел частного этих функций:
А
поэтому, функция
является
б.м. низшего порядка малости при
,
чем функция
.
Определение
Если
,
то
называется б.м.
порядка
по
сравнению с
при
.
Пример
Функция
называется
б.м. порядка 2 по сравнению с функцией
в
точке
,
так как
,
что и требовалось доказать.
Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции
Определение
Если
,
то б.м.
функции
и
называются эквивалентными или равносильными
б.м. одного порядка при
:
при
.
Пример
Функции
и
являются
эквивалентными б.м. в точке
,
так как, во-первых:
а во-вторых:
36. Непрерывность функции в точке. Три определения непрерывности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.
Определение 3.1
Пусть функция
определена
на некотором интервале
,
для которого
--
внутренняя точка. Функция
называется непрерывной
в точке
,
если существует предел
при
и
этот предел равен значению
,
то есть
Пусть
функция
определена
на некотором полуинтервале
,
для которого
--
левый конец. Функция
называется непрерывной
справа в точке
,
если существует предел
при
и
этот предел равен значению
,
то есть
Пусть,
наконец, функция
определена
на некотором полуинтервале
,
для которого
--
правый конец. Функция
называется непрерывной
слева в точке
,
если существует предел
при
и
этот предел равен значению
,
то есть
Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.
Предложение 3.1 Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:
1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;
2)
существует предел значений функции
слева:
;
3)
существует предел значений функции
справа:
;
4)
эти два предела совпадают между собой
и со значением функции в точке
:
.
Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с
Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.
Пример 3.1
Пусть
и
.
Тогда
и
.
Эти значения совпадают, значит,
функция
непрерывна
в точке
.
(Функция
--
элементарная функция;
--
точка её области определения
.
Все элементарные функции непрерывны
во всех внутренних точках своих областей
определения, в том числе и эта.Так что
в этом примере можно было бы заменить
любой
элементарной функцией, а
--
любой внутренней точкой области
,
и вывод остался бы тем же.)
Пример 3.2
Рассмотрим функцию
и
точку
.
При
функция
задаётся формулой
,
при этом имеем
(первый
замечательный предел). Это значение
совпадает с тем, которое задано при
:
.
Итак,
,
что означает непрервыность функции
при
.
Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:
Предложение 3.2 Пусть
--
база непроколотых
окрестностей точки
,
окончаниями которой служат
интервалы
,
;
--
база непроколотых
левых окрестностей точки
,
окончаниями которой служат
полуинтервалы
,
;
--
база непроколотых
правых окрестностей точки
,
окончаниями которой служат
полуинтервалы
,
.
Тогда непрерывность функции
в
точке
эквивалентна
тому, что существует предел
;
непрерывность слева в точке
--
тому, что существует предел
;
непрерывность справа в точке
--
тому, что существует предел
.