32. Признак существования предела функции. Первый замечательный предел. Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние
п
ределы 
и 
и
докажем, что они равны 1.
Пусть 
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(R =
1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из 
:
| LA |
= tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при 
:
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствий
33. Основные свойства пределов функций. Основные типы неопределенностей.
Определение и свойства пределов |
||||||||||||||
Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x из δ-окрестности a (|x - a| < δ) выполняется |f(x) - f(a)| < ε. |
||||||||||||||
Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε |
||||||||||||||
Обозначение |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
Свойства пределов |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
Замечательные пределы |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
e = 2,718281828459045235360287471352662497757... |
||||||||||||||
Связь между десятичными и натуральными логарифмами |
||||||||||||||
lg(x) = M ln(x), |
||||||||||||||
где M = lg(e) = 0,43429448190325182765112891891666... |