30. Связь бесконечно малых и бесконечно больших. Их свойства.

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство  , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x .

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция  – бесконечно малая при x→+∞, т.е.  .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции  и  - бесконечно малые при x→+∞, то  , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же  является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

31. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой величиной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ФУНКЦИЙ. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА О СВЯЗИ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ И БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИЯМИ.

Функция   называется бесконечно малой при  , если .

Функция   называется бесконечно большой при  , если для любого положительного числа   существует такое число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  . Записывается:  .

Свойства бесконечно малых функций:

1)Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

3)Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

4)Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.

5)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция   - функция бесконечно малая ( ), то функция   есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть   - бесконечно малая функция при  , т.е.  . Тогда для любого числа   существует такое число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  , т.е.  , т.е.  , где  . А из этого следует, что функция   - бесконечно большая.