18. Переход от общего уравнения прямой к кононическому.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим или параметрическим уравнениям

 

Для того, чтобы от общих уравнений    перейти к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор   этой прямой и координаты любой точки  , принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям   и    к обеим плоскостям, следовательно,    коллинеарен их векторному произведению   . Поэтому в качестве   направляющего вектора можно выбрать    или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные   найти из уравнений  , выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

 

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой   .

Решение. По условию  ,  тогда  . Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор  .

Будем искать точку на прямой с координатой  . Для координат   и   получим систему уравнений  , откуда   ,  . Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

 

.

 

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

 

  или  .

 

Пример. Привести общие уравнения прямой   к каноническому виду.

 

Решение. Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например,   и решив систему уравнений   найдем  .

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую, имеют координаты  ,  . Поэтому направляющий вектор прямой будет  . Следовательно,  .

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси  . Тогда направляющий вектор прямой   перпендикулярен

  , следовательно,   и параметрические уравнения прямой примут вид  . Исключаяиз уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде  .

Однако, и в этом случае, формально записывают канонические уравнения прямой в виде  .

Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям   соответствует прямая перпендикулярная осям   и   или параллельная оси  .

Пример. Записать уравнение прямой    в параметрическом виде.

Решение. Обозначим  , отсюда 

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку   параллельно вектору   .

Решение. Канонические уравнения:    или    .

Параметрические уравнения:   или  .