Техника вычисления пределов

При нахождении предела когда и – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при , принято говорить, что отношение при представляет собой неопределенность вида (соответственно, ). Аналогично вводятся неопределенности вида , , а также , и , которые встречаются при нахождении пределов , и . Отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенности.

Раскрытие неопределенностей вида .

К таким неопределенностям приводит, как правило, вычисление пределов вида где P(x) и Q(x) – функции целой или дробной степени переменной х. Для вычисления пределов такого вида необходимо исходные бесконечно большие функции заменить на эквивалентные им бесконечно большие функции.

Пример 3.1. Вычислить пределы:

а) ;

б) .

Решение. а) При подстановке предельного значения в функцию получаем неопределенность . Исходные бесконечно большие функции заменим на эквивалентные им бесконечно большие функции при :

б) Исходные бесконечно большие функции заменим на эквивалентные им бесконечно большие функции при :

Пример 3.2. Вычислить предел .

Решение. Исходные бесконечно большие величины заменим на эквивалентные им бесконечно большие величины при : .

Пример 3.3. Вычислить предел .

Решение. Необходимо напомнить, что , . Тогда, заменяя исходные бесконечно большие величины на эквивалентные им бесконечно большие величины при , получим:

Раскрытие неопределенностей вида .

1) Пределы вида где и – многочлены степени соответственно n и m. Общий прием в таких случаях – разделить числитель и знаменатель дроби на бином (x–a), после чего опять подставить предельное значение. Если неопределенность сохраняется, процедуру повторить. Во многих случаях удается выделить в числителе и знаменателе критический множитель (x–a), применяя алгебраические преобразования, формулы сокращенного умножения и разложение на множители квадратного трехчлена: