Разложение определителя по строке (столбцу). Вычисление определителей высших порядков
Дополнительным
минором
элемента
определителя называется определитель,
полученный из исходного путем вычеркивания
i-ой
строки и j-го
столбца. Алгебраическим
дополнением
элемента
определителя называется его дополнительный
минор,
помноженный на
,
т.е.
.
(1.4)
Для вычисления определителя - го порядка удобно пользоваться следующим свойством: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Для разложения определителя лучше выбирать тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.
Пример
1.4. Вычислить
определитель
,
разложив его по первой строке.
Решение. Воспользуемся свойством, описанным выше и формулой (1.4):
Тема 1.3. Обратная матрица
Матрицей,
обратной
квадратной матрице A,
называется квадратная матрица
,
удовлетворяющая равенствам
.
(1.5)
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу :
,
(1.6)
где
– алгебраическое дополнение элемента
матрицы A (алгебраическое
дополнение
записывается в строку с номером
и в столбец с номером i,
т. е. в так называемом транспонированном
порядке).
Пример
1.5. Для матрицы
найти ей обратную.
Решение.
Найдем определитель матицы А:
,
,
следовательно матрица A
имеет обратную матрицу.
Найдем алгебраические дополнения
элементов матрицы A
по формуле (1.4):
,
,
,
,
,
,
,
,
.
По формуле (1.6) получим:
.
Тема 1.4. Решение систем линейных неоднородных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:
(1.7)
где – коэффициенты системы.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Систему
(1.7) можно представить в матричном виде:
,
где A
– матрица
коэффициентов,
X
– столбец неизвестных, B
– столбец свободных членов:
,
,
.
(1.8)
Матрица коэффициентов системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Метод обратной матрицы
Этот
метод можно применять для решения
систем, состоящих из
уравнений с
неизвестными. Если матрица коэффициентов
является невырожденной (
),
то столбец неизвестных
можно найти по формуле
.
(1.9)
Таким образом, чтобы найти столбец неизвестных нужно найти матрицу, обратную матрице коэффициентов, и умножить ее на столбец свободных членов.