1 Вопрос. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. Примеры.

Комбинаторика это раздел математики в котором изучается вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечного числа различных элементов.

Комбинации отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком называются соединениями различают три вида соединений.

Р азмещениями называются соединения составленные из n-различных элементов по m-элементам, которые отличаются друг от доуга либо составом эл-тов либо их порядком.

Перестановки называют соединения составленные из одних и тех же n-элементов, которые отличаются друг от друга только их порядком размещения

Сочетаниями называются соединения составленные из n-различных элементов по m-элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Сочетания с повторениями это такие соединения состоящие из n-различных элементов по m-элементам отличающиеся друг от друга или хотя бы одним элементом или тем что хотя бы один элемент входит различное число раз

2 Вопрос. Классическое определение вероятности, случайные события, элементарные исходы. Свойства классической вероятности. Примеры.

Определение. Элементарными исходами испытаний называются все возможные простейшие события, которые могут случиться в этом испытании.

Определение. Вероятностью события А, которое происходит, если случаются элементарные исходы из набора {е1, е2,..,еN }называется отношение числа m к общему числу n- всех возможных, равновозможных и несовместных элементарных исходов.

Пример. А- выпадение четного числа очков на кости. Всего n=6 – равновозможных несовместных элементарных исходов. Событию А благоприятствует 3 элементарных исхода {2,4,6} → m=3, тогда вероятность события А = m/n=3/6=1/2.

Классическая формула вероятности: Р{А}= M/N.

Если множество элементарных событий Ω={ω1,ω2,…ωN},конечно и все элементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность Р{А} наступления события А, состоящего из М элементарных событий, входящих в Ω, определяется как отношение числа М элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу N элементарных событий.

3 вопрос. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.

События называется несовместными в данном опыте если появление одного из них исключает появление другого.

События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.

Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Если два несовместных события образуют полную группу они называются противоположными

События называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие.

События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.

Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную группу события.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий A, B, C, A и B, A и C, B и C, A и B и C.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A) + Р(В).

Доказательство. Введем обозначения: п — общее число возможных элементарных исходов испытания; т₁, — число исходов, благоприятствующих .событию А; т₂ — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно т₁ + т₂. Следовательно, Р (А + В) = (т₁ + т₂)/n =. т₁/n+ т₂/n.

Приняв во внимание, что т₁/n= Р (А) и т₂/n= Р (В), окончательно получим P(A+B)=P(A) + Р(В).

4 вопрос. Зависимые и независимые события. Теорема умножения событий.( с доказательством). Примеры.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)P_A(B).

Доказательство. По определению условной вероятности, P_A(B)=P(AB)/P(A). Отсюда P(AB)=P(A)P_A(B).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: P(A₁A₂A₃…A_n)=P(A₁)P_A1(A₂)P_A1A2(A₃)…P_A1A2…An-1(A_n), где P_A1A2…An-1(A_n) ­ вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события A₁A₂…A_n-1 наступили. В частности для трех событий P(ABC) = P(A) P_A(B)P_AB(C). Порядок расположения событий не важен.

Теорема умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда

события, образующие произведение, независимы. Событие B называется независимым от события A, если его вероятность не меняется от того, произошло событие A или нет, т.е.

PA(B) = P(B). (3.7)

В противном случае, если PA(B) =6 P(B), событие B называется зависимым от A.

Из теоремы умножения

P(AB) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A).

видно, что если событие B не зависит от A, то и событие A не зависит от B.Таким образом, зависимость и независимость событий всегда взаимны. Поэтому можно дать следующее определение независимости событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события A, B, C попарно независимы, если независимы события A и B, A и C, B и C. Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.