10. Биномиальное распределение, вычисление математического ожидания и дисперсии биномиально распределенной случайной величины.
Биноминальный з-н\
Дискретная случ. велич. X имеет биномиальный з-н с параметрами n и р, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,..., n с вероятностями P(X=m)=Cnmpmqn-m, где 0<p<1, q=1-p.
11. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Вычисление основных числовых характеристик этих распределений.
З-н распред-я Пуассона. Дискретная случ. велич X имеет
Этот з-н с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m (бесконечное, но счетное множ-во значений) с вер-стями P(X=m)=λme- λ \m! . (n→∞, p→0).
Геометрическ распр-е.
Дискретная случ. велич Х=m имеет геометрическое р-е с параметром р, если она
принимает значения 1,2,..., m... (бесконечное, но счетное множ-во значений) с вер-стями P(X=m)=pqm-1, где 0<p<1, q=1-p. Теорема.(без док-ва) Если случ велич Х распределена по геометрич р-ю, то М(Х)=1\р, D(X)=q\p^2.
12. Непрерывные случайные величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии для равномерно и нормально распределенных случайных величин.
Сл\в Х наз-ся непрерывной, если её Функция Распределения непрерывна в любой точке и дифференцируемая во всюду, кроме отдельных точек (точки излома).
Мат\ожиданием дискретной сл\в называется сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.
Мат\о
существует, если ряд, стоящий в правой
части равенства, сходится абсолютно. С
точки зрения вер-ти можно сказать, что
м\о приближенно = среднему арифметическому
наблюдаемых значений сл\в.
Пусть НСВ Х задана ФР F(x). Допустим, что все возможные значения сл\в принадлежат отрезку [a,b].
Мат\ож-м
НСВ Х,
возможные значения которой принадлежат
отрезку [a,b], наз-ся определенный интеграл
.
Если возможные значения сл\в рассм-ся
на всей числовой оси, то мат\о
нах по формуле:
,
при этом предпол-ся, что несобственный
интеграл сходится.
Дисперсией
НСВ наз мат\ож
квадрата ее отклонения.
.
По аналогии с дисперсией, дискретной
сл\в, для практического вычисления
дисперсии используется формула:
.
13. Функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Функции плотности распределения. Мода, медиана. Начальные и центральные моменты. Примеры.
Функция распределения НСВ:
,
в качестве способа задания НСВ используется
функция
распределения НСВ.
ФРНСВ
наз вер-ть т\ч она примет значение меньшее
заданного.
-обознач
ф-ии распр в-тей
Основные свойства ф-ии распределения НСВ:
С1.
С2.
С3.
С4.
Вер-ть т\ч НСВ
примет значение из интервала, равна
приращению ф-ии на этом интервале
1
)
2)
Скорость
изменения функции распределения хар-ся
плотностью распр-я. Обозначается символом
.
Плотностью вер-ти (плотностью распр-я)
НСВ
Х наз-ся производная её ф-ии распр-я
Свойства плотности распр-я (ПР):
С1.
ПР –
неотрицательная функция.
;
С2.
Вер-ть попадания
НСВ в интервал [a,b]
равна определённому интегралу от её
плотности вер-ти в пределах от a
до b,
т.е.
С3.
Ф-я распр НСВ
м\б выражена через плотность вер-ти по
формуле:
С4.
Несобственный интеграл в бесконечных
пределах от плотности вер-ти НСВ =1.
Мода Мо(Х) случ. величины X - наз-ся ее наиболее вероятное значение (для которого вер-сть рi или плотность вер-сти φ(х) достигает max). Медиана Ме(Х) непрерывной случ. величины X наз-тся такое ее значение, для которого Р(X<Me(X))=P(X>Me(X))=0,5, т.е. вер-сть того, что X примет значение, < Ме(Х) или > ее, одна и та же и = 0,5. Геометрически: вертикальная прямая, проходящая через точку х=Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на 2 равные части. Начальным моментом k-го порядка случ. велич X наз-ся мат. ожидание k-й степени этой величины: νk=M(X^k). Для непрерывн случ велич: νk=∫х^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞). Центральный моментом k-го порядка случ. велич. X наз-тся матю ожидание k-й степени отклонения X от ее мат. ожидания: μk=M[X-M(X)]^k. Для непрерывной случ велич: μk= ∫(х-М(Х))^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞).