§3. Импульсная характеристика нерекурсивного дискретного фильтра.
Введем
понятие импульсной характеристики
нерекурсивного дискретного фильтра
gT(t)
в виде его реакции на
- импульс, поступающий в момент времени
t = 0. Тогда, используя
структурную схему, изображенную на
рисунке 8, можно записать:
или:
(6)
Сравнивая импульсную характеристику нерекурсивного дискретного фильтра gT(t) и импульсную характеристику эквивалентного ему аналогового фильтра g(t), можно сделать вывод, что gT(t) представляет собой дискретное колебание, полученное путем временной дискретизации аналогового колебания g(t) с периодом Т. Входящие в выражение (6) коэффициенты {am} являются отсчетами импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа {g(mT)}.
Рис. 9.
Учитывая, что реальные фильтры обладают конечной протяженностью импульсной характеристики и, следовательно, конечной памятью, иногда называют нерекурсивные дискретные фильтры КИХ-фильтрами (фильтрами с конечной импульсной характеристикой).
§4. Передаточная функция нерекурсивного дискретного фильтра
Перепишем алгоритм работы (5) дискретного нерекурсивного фильтра (дискретную свертку) в другом виде:
(7)
Отклик дискретного фильтра можно выразить через отсчеты s2(nT):
(8)
Тогда:
(9)
Выражение (9) можно рассматривать как свертку отсчетов воздействия {s1(mT)} и импульсной характеристики дискретного фильтра gT(t). Для реального дискретного фильтра число слагаемых во второй сумме является конечным.
Используя
свойства преобразования Фурье, найдем
спектральную характеристику отклика
дискретного фильтра S2T(ω)
S2T(t):
(10)
Обозначим n-m=k или n+m=k, тогда:
Введенные обозначения означают:
S1T(ω) – спектральная характеристика воздействия фильтра S1T(t)
НT(ω) – имеет смысл комплексного коэффициента передачи или передаточной функции дискретного фильтра.
(11)
Из выражения (11) следует что нерекурсивный дискретный фильтр можно рассматривать как параллельное соединение четырехполюсников с передаточными функциями {ake-jkωT}, где
Отсюда получается еще один вариант структурной схемы нерекурсивного дискретного фильтра:
Рис. 10.
Здесь четырехполюсник вида |
|
отображает идеальный элемент |
задержки на время kT |
||
Если вместо преобразования Фурье в выражении (10) использовать преобразование Лапласа, получим соответственно
(12)
где |
|
- передаточная функция ДФ |
и вариант структурной схемы, изображенный на рис. 11.
Рис. 11.
Здесь |
|
- идеальный элемент задержки на время kT |
§5. Рекурсивный дискретный фильтр и его передаточная функция
В рекурсивном дискретном фильтре, в отличие от нерекурсивного, очередной отсчет отклика s2(nT) формируется не только на основе текущего и N предыдущих отсчетов воздействия, но и на основе нескольких М предыдущих отсчетов отклика т.е.:
(13)
где ак и bк – весовые коэффициенты.
В соответствии с алгоритмом (13) работы рекурсивного дискретного фильтра его структурная схема принимает вид, показанный рис. 12.
Рис. 12.
Здесь |
|
- идеальный элемент задержки на время kT |
|
|
- весовые умножители |
Применяя преобразования Лапласа к выражению (13), найдем изображение
Отсюда передаточная функция рекурсивного дискретного фильтра
может быть записана в виде:
(14)
а структурная схема изображена на рисунке 13:
Рис. 13.
Применяя к выражению (13) преобразование Фурье, получим передаточную функцию рекурсивного дискретного фильтра в виде:
(15)
а
схему в виде, изображенном на рис. 13 с
заменой четырехполюсников
на четырехполюсники
.
Рассмотрим пример простейшего рекурсивного дискретного фильтра с одним прямым каналом и одним задержанным «обратным» каналом.
Рис. 14.
Передаточная функция этого фильтра:
(16)
Докажем, что этот простейший рекурсивный фильтр эквивалентен нерекурсивному фильтру с бесконечным числом каналов (бесконечной импульсной характеристикой БИХ)
Из математики известно:
Тогда выражение (26) можно переписать в виде:
где
Следовательно, эта передаточная функция соответствует нерекурсивному дискретному фильтру с импульсной характеристикой:
