Ознака вейєрштрасса

Функціональний ряд вигляду

абсолютно і рівномірно збіжний на проміжку , якщо існує знакододатний збіжний числовий ряд

такий, що для всіх виконується умова

Ознака збіжності степеневого ряду

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається в точці , то він збігається абсолютно в інтервалі

Якщо степеневий ряд розбіжний в точці , то він буде розбіжний для всіх , що задовольняють умову

Число називають радіусом збіжності степеневого ряду, а проміжок - інтервалом збіжності (областю збіжності).Якщо всі коефіцієнти ряду ненульові, то радіус збіжності рівний наступній границі

при умові, що вона існує (скінченна чи нескінченна).

Для рядів вигляду

радіус збіжності визначається за формулою , проте інтервал збіжності з нерівності

Теорема не дає відповіді про збіжність на кінцях інтервалу, тому їх слід перевіряти окремо за відомими ознаками збіжності.

Ряди Тейлора та Маклорена. Розклад функцій на практиці

Задачі на розлад функцій в ряди Тейлора та Маклорена дуже важливі в курсі вищої математики при наближеному обчисленні значень функцій в певних точок, наближенні похідних у точці, складних границь. Тому уважно розберіться з наведеним нижче матеріалом. Почнемо з основних означень.

Рядом Тейлора для функції при умові, що вона визначена в околі точки , а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду