Розв’язання
Крок 1. Перевіримо рівняння моделі на ідентифікованість. Для цього розглянемо нерівність
,
де
— кількість ендогенних змінних, які
входять у
це рівняння;
— загальна кількість
екзогенних змінних;
— кількість екзогенних змінних, що входять у це рівняння моделі;
;
Таким чином, наведене рівняння моделі є надідентифікованим.
Крок 2. Запишемо оператор оцінювання параметрів 2МНК:
.
У цьому операторі:
— вектор залежної
(ендогенної) змінної:
;
— матриця поточних
ендогенних змінних, які входять у
праву частину рівняння:
;
—
матриця всіх
пояснюючих (екзогенних) змінних моделі:
;
— матриця екзогенних
змінних даного рівняння,
Крок 3. Знайдемо добуток матриць згідно з оператором оцінювання 2МНК:
3.1.
.
Ці дані взяті з матриці (другий та третій рядки).
3.2.
.
Оскільки
матриця
є діагональною (це означає, що всі змінні
взяті як відхилення від свого середнього
значення), звідси
теж діагональна матриця.
3.3.
3.4.
;
;
.
Звідси блочна матриця має вигляд:
.
3.6.
Знайдемо обернену матрицю до матриці
:
.
3.7. Розрахуємо добуток матриць, що знаходяться в правій частині оператора:
;
.
Маємо вектор:
.
Крок 4. Визначимо оцінки параметрів з рівняння:
.
Перше рівняння економетричної моделі запишеться так:
.
Крок 5. Визначимо асимптотичні стандартні помилки знайдених оцінок параметрів рівняння:
;
;
;
;
;
;
.
Стандартні помилки відносно абсолютного значення становлять відповідно 24,9% , 28,8% , 38,7% , а це свідчить про те, що оцінки параметрів рівняння є зміщеними й неефективними.
9.3. Завдання для самостійної роботи
Завдання 9.1. За даними табл. 9.2 побудуйте систему одночасових рівнянь попиту та пропозиції; визначте параметри рівнянь непрямим методом найменших квадратів; обчисліть еластичність попиту та пропозиції залежно від ціни для середніх значень цих змінних.
Варіант 1
Таблиця 9.2
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
55 |
5 |
100,0 |
20 |
2 |
57 |
6 |
110,0 |
22 |
3 |
56 |
7 |
112,0 |
20 |
4 |
59 |
8 |
115,0 |
25 |
5 |
51 |
9 |
120,0 |
20 |
6 |
58 |
10 |
135,0 |
15 |
Варіант 2
Таблиця 9.3
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
45 |
4,0 |
100,0 |
20 |
2 |
47 |
5,0 |
110,0 |
22 |
3 |
46 |
5,5 |
112,0 |
20 |
4 |
49 |
6,0 |
115,0 |
25 |
5 |
41 |
9,8 |
120,0 |
20 |
6 |
48 |
10,0 |
135,0 |
25 |
Варіант 3
Таблиця 9.4
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
35 |
3,36 |
100,0 |
20 |
2 |
37 |
3,46 |
110,0 |
22 |
3 |
36 |
3,57 |
112,0 |
20 |
4 |
39 |
3,18 |
115,0 |
25 |
5 |
31 |
3,90 |
120,0 |
20 |
6 |
38 |
3,10 |
135,0 |
15 |
Варіант 4
Таблиця 9.5
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
55 |
5,8 |
200,0 |
20 |
2 |
57 |
6,9 |
210,0 |
22 |
3 |
56 |
7,0 |
212,0 |
20 |
4 |
59 |
8,2 |
215,0 |
25 |
5 |
51 |
9,4 |
220,0 |
20 |
6 |
58 |
10,5 |
235,0 |
15 |
Варіант 5
Таблиця 9.6
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
55 |
3,9 |
100,0 |
40 |
2 |
57 |
6,0 |
110,0 |
42 |
3 |
56 |
7,5 |
112,0 |
40 |
4 |
59 |
8,4 |
115,0 |
45 |
5 |
51 |
9,5 |
120,0 |
40 |
6 |
58 |
12,0 |
135,0 |
45 |
Варіант 6
Таблиця 9.7
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
65 |
5 |
200,0 |
20 |
2 |
67 |
6 |
220,0 |
22 |
3 |
66 |
7 |
222,0 |
20 |
4 |
69 |
8 |
225,0 |
25 |
5 |
61 |
9 |
220,0 |
20 |
6 |
68 |
10 |
235,0 |
15 |
Варіант 7
Таблиця 9.8
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
85 |
5 |
100,0 |
50 |
2 |
87 |
6 |
110,0 |
52 |
3 |
86 |
7 |
112,0 |
53 |
4 |
89 |
8 |
115,0 |
55 |
5 |
81 |
9 |
120,0 |
58 |
6 |
88 |
10 |
135,0 |
60 |
Варіант 8
Таблиця 9.9
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
55 |
5 |
100,0 |
30 |
2 |
57 |
4 |
110,0 |
32 |
3 |
56 |
5 |
112,0 |
30 |
4 |
59 |
6 |
115,0 |
35 |
5 |
51 |
8 |
120,0 |
30 |
6 |
58 |
10 |
135,0 |
35 |
Варіант 9
Таблиця 9.10
Номер спостереження |
Рівноважна кількість споживання продукту на душу населення |
Ціна за одиницю продукту |
Дохід на душу населення |
Затрати на виробництво одиниці продукту |
1 |
45 |
5 |
100,0 |
20 |
2 |
47 |
6 |
110,0 |
22 |
3 |
49 |
7 |
112,0 |
20 |
4 |
50 |
8 |
115,0 |
25 |
5 |
56 |
9 |
120,0 |
30 |
6 |
58 |
10 |
135,0 |
35 |
Завдання 9.2. Використовуючи дані табл. 9.2 — 9.10, побудувати економетричну модель попиту та пропозиції на основі системи одночасових структурних рівнянь двокроковим методом найменших квадратів. Порівняти моделі, отримані НМНК і 2МНК.