2.2. Процедура оцінювання параметрів моделі 1мнк

В основу методу найменших квадратів покладено критерій, згідно якого, „найкращою” серед усіх можливих вважається функція регресії з такими параметрами, для якої сума квадратів залишків є мінімальною. У математичному вигляді цей критерій має наступний вигляд :

. ( 13 )

Використовуючи цей критерій і визначаються параметри вибіркової лінійної моделі.

Подамо рівняння ( 4 ) у вигляді : . Тоді суму квадратів залишків e можна записати таким чином :

. ( 14 )

Для мінімізації суми квадратів залишків візьмемо похідну від виразу (14) за вектором оцінок параметрів В і прирівняємо похідні до нуля :

. ( 15 )

З виразу (15) маємо :

. ( 16 )

Вираз (16) представляє собою матричну форму запису так званої системи нормальних рівнянь. Розв’язавши її відносно вектора оцінок В отримаємо оцінку параметрів моделі. З цією метою помножимо обидві частини виразу (16) на обернену матрицю :

. Оскільки , де E – одинична матриця остаточно отримуємо :

. ( 17 )

Таким чином, сформувавши на основі статистичної вибірки вектор спостережень за залежною змінною моделі Y і матрицю спостережень за незалежними змінними моделі X, за формулою (17) можна обчислити вектор оцінок параметрів моделі B.

Для зручності використання виразу (17) розпишемо у розгорнутій формі матриці та :

, ( 18 )

.

. ( 19 )

Підсумовуючи усе вище сказане можна рекомендувати наступну послідовність кроків оцінювання параметрів загальної лінійної економетричної моделі на основі деякої статистичної вибірки:

1. формування вектору спостережень за залежною змінною моделі Y ;

2. формування матриці спостережень за незалежними змінними моделі X ;

3. формування матриці на основі залежності (18) ;

4. формування матриці на основі залежності (19) ;

5. визначення оберненої матриця ;

6. визначення вектору оцінок параметрів моделі В як добутку матриць і згідно виразу (17).

 Зауваження 1. У випадку парної лінійної регресії оператор оцінювання (16) значно спрощується і оцінки параметрів β₀ і β₁ можна визначити за наступними простими формулами:

, ( 20 )

, ( 21 )

де : - вибірковий коефіцієнт коваріації,

- вибіркова дисперсія пояснюючої змінної моделі,

- середнє значення пояснюючої змінної x, - середнє значення залежної змінної y.

Слід зазначити, що рівняння регресії, параметри якого оцінені методом найменших квадратів, має декілька корисних властивостей, які використовуються у практичних дослідженнях .

1. Пряма регресії (поверхня або гіперповерхня регресії) проходить через середню точку з координатами .

2. Середнє значення оцінки залежної змінної дорівнює фактичному середньому значенню, тобто .

3. Сума залишків моделі дорівнює нулю, тобто .

Так наприклад, третя властивість широко використовується для контролю за тим, чи правильно обчислені параметри моделі і її залишки.

2.3. Властивості оцінок параметрів моделі, отриманих 1мнк

Теорема Гауса – Маркова показує, що якщо виконуються усі основні припущення класичного лінійного регресійного аналізу, розглянуті вище, то оцінки параметрів моделі, отримані 1МНК є BLUE – оцінками, тобто найкращими незміщеними лінійними оцінками (best linear unbiased estimators) і мають наступні властивості.

1. Вони є незміщеними оцінками, тобто оцінками, які задовольняють умові

. ( 22 )

Незміщеність оцінки означає, що при багаторазовому повторені випадкової вибірки попри те, що для окремих вибірок, можливо будуть помилки оцінювання, середнє значення цих помилок дорівнює нулю.

2. Вони є ефективними, тобто ці оцінки мають найменшу дисперсію серед усіх незміщених оцінок, отриманих іншими методами.

3. Вони є обгрунтованими оцінками, тобто оцінками, які при довільному задовольнить умові

. ( 23 )

Обгрунтованість оцінок означає, що чим більше вибірка, тим більше ймовірність того, що помилка оцінки не перевищуватиме достатньо малої напере заданої величини . Іншими словами, при збільшені розміру вибірки зростає надійність обчислених оцінок.