3.2. Сравнение выборок по u-критерию Манна-Уитни (непараметрический критерий)
Рассмотрим пример сравнения двух выборок.
Подростки |
|||||||||||||||
№ |
Самооценка |
Общая тревожность в школе |
Переживание социального стресса |
Фрустрация потребности в достижение успеха |
Страх самовыражения |
Страх ситуации проверки знаний |
Страх несоответствовать ожиданиям окружающих |
Низкая физиологическая сопротивляемость стрессу |
Проблемы и страхи в отношениях с учителями |
Общий балл тревожнасти |
Соперничество |
Сотрудничество |
Компромисс |
Избегание |
Приспособление |
1 |
9 |
0,05 |
0,36 |
0,15 |
0,5 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,25 |
0,19 |
0 |
0,54 |
0,58 |
0,85 |
0,45 |
2 |
8 |
0,05 |
0,09 |
0,08 |
0,17 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,13 |
0,09 |
0 |
0,62 |
0,67 |
0,54 |
0,64 |
3 |
9 |
0,09 |
0 |
0,08 |
0,33 |
0,33 |
0,2 |
0 |
0,13 |
0,1 |
1 |
0,46 |
0,5 |
0,54 |
0 |
4 |
7 |
0,73 |
0,18 |
0,38 |
0,83 |
0,67 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
0,53 |
0,36 |
0,46 |
0,33 |
0,77 |
0,55 |
5 |
7 |
0,41 |
0,09 |
0,23 |
0,33 |
0,33 |
0,4 |
0 |
0,38 |
0,28 |
0,09 |
0,69 |
0,75 |
0,46 |
0,45 |
6 |
5 |
0,68 |
0,09 |
0,31 |
0,33 |
0,67 |
0,6 |
0,8 |
0,63 |
0,47 |
0,18 |
0,54 |
0,42 |
0,77 |
0,55 |
7 |
8 |
0,09 |
0,18 |
0,08 |
0,33 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,13 |
0,14 |
0 |
0,69 |
0,75 |
0,46 |
0,55 |
8 |
8 |
0,05 |
0 |
0,08 |
0,17 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,13 |
0,07 |
0 |
0,62 |
0,58 |
0,62 |
0,64 |
9 |
8 |
0 |
0 |
0,15 |
0,33 |
0 |
0,2 |
0 |
0 |
0,07 |
0,45 |
0,62 |
0,17 |
0,69 |
0,45 |
10 |
8 |
0,14 |
0 |
0,31 |
0,33 |
0,17 |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,16 |
0,64 |
0,31 |
0,5 |
0,77 |
0,18 |
11 |
9 |
0,18 |
0,09 |
0,15 |
0,33 |
0 |
0,2 |
0 |
0,13 |
0,14 |
0,09 |
0,54 |
0,58 |
0,62 |
0,64 |
12 |
8 |
0,59 |
0,36 |
0,31 |
0,67 |
0,67 |
0,2 |
0,2 |
0,25 |
0,41 |
0,45 |
0,54 |
0,67 |
0,31 |
0,55 |
13 |
7 |
0,82 |
0,18 |
0,38 |
0,67 |
0,83 |
0,6 |
0,6 |
0,38 |
0,57 |
0,45 |
0,46 |
0,58 |
0,46 |
0,55 |
14 |
6 |
0,77 |
0,45 |
0,46 |
0,83 |
0,5 |
0,8 |
0,8 |
0,5 |
0,66 |
0,27 |
0,54 |
0,67 |
0,54 |
0,45 |
15 |
9 |
0,5 |
0,09 |
0,15 |
0,5 |
0,67 |
0,6 |
0,4 |
0,38 |
0,36 |
0,36 |
0,31 |
0,67 |
0,62 |
0,55 |
16 |
8 |
0,5 |
0,27 |
0,38 |
0,5 |
0,83 |
0,4 |
0,2 |
0,63 |
0,38 |
0,27 |
0,46 |
0,67 |
0,5 |
0,73 |
17 |
7 |
0,45 |
0,09 |
0,08 |
0,33 |
0,67 |
0,2 |
0,4 |
0,38 |
0,28 |
0,09 |
0,54 |
0,5 |
0,77 |
0,55 |
18 |
8 |
0,55 |
0,09 |
0,38 |
0,5 |
0,83 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
0,43 |
0,36 |
0,69 |
0,67 |
0,31 |
0,45 |
Ср.арифм |
7,72 |
0,37 |
0,15 |
0,23 |
0,44 |
0,44 |
0,38 |
0,27 |
0,33 |
0,30 |
0,28 |
0,54 |
0,57 |
0,59 |
0,50 |
Станд.откл |
1,07 |
0,29 |
0,14 |
0,13 |
0,20 |
0,30 |
0,26 |
0,30 |
0,19 |
0,19 |
0,26 |
0,11 |
0,15 |
0,16 |
0,17 |
Старшеклассники |
|||||||||||||||
№ |
Самооценка |
Общая тревожность в школе |
Переживание социального стресса |
Фрустрация потребности в достижение успеха |
Страх самовыражения |
Страх ситуации проверки знаний |
Страх несоответствовать ожиданиям окружающих |
Низкая физиологическая сопротивляемость стрессу |
Проблемы и страхи в отношениях с учителями |
Общий балл тревожнасти |
Соперничество |
Сотрудничество |
Компромисс |
Избегание |
Приспособление |
1 |
7 |
0,05 |
0,18 |
0,08 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,13 |
0,07 |
0,45 |
0,46 |
0,42 |
0,54 |
0,64 |
2 |
5 |
0,41 |
0,55 |
0,31 |
0,17 |
0,33 |
0,4 |
0,4 |
0,25 |
0,4 |
0,45 |
0,38 |
0,67 |
0,54 |
0,45 |
3 |
6 |
0,14 |
0,09 |
0,23 |
0 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,38 |
0,14 |
0,55 |
0,69 |
0,67 |
0,46 |
0,09 |
4 |
8 |
0,18 |
0,09 |
0,15 |
0,5 |
0,17 |
0 |
0 |
0,38 |
0,17 |
0,09 |
0,62 |
0,58 |
0,54 |
0,64 |
5 |
7 |
0,18 |
0,09 |
0,08 |
0,33 |
0,17 |
0 |
0 |
0,13 |
0,14 |
0 |
0,69 |
0,67 |
0,54 |
0,55 |
6 |
9 |
0,5 |
0 |
0,15 |
0,33 |
0,5 |
0 |
0,4 |
0,38 |
0,28 |
1 |
0,54 |
0,58 |
0,23 |
0,18 |
7 |
8 |
0,27 |
0,45 |
0,46 |
0,33 |
0,17 |
0,6 |
0 |
0,5 |
0,33 |
0,55 |
0,62 |
0,33 |
0,54 |
0,45 |
8 |
9 |
0,18 |
0,45 |
0,46 |
0,17 |
0,33 |
0,2 |
0,4 |
0,38 |
0,31 |
0,36 |
0,46 |
0,67 |
0,62 |
0,36 |
9 |
5 |
0,45 |
0,45 |
0,54 |
0,5 |
0,33 |
0,6 |
0,8 |
0,63 |
0,5 |
0,09 |
0,54 |
0,67 |
0,62 |
0,55 |
10 |
3 |
0,55 |
0,36 |
0,23 |
0,5 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
0,5 |
0,47 |
0 |
0,31 |
0,58 |
0,69 |
0,91 |
11 |
7 |
0,23 |
0,36 |
0,15 |
0,17 |
0,33 |
0,4 |
0 |
0,25 |
0,22 |
0,55 |
0,38 |
0,67 |
0,46 |
0,45 |
12 |
6 |
0,23 |
0,27 |
0,38 |
0,67 |
0,5 |
0,6 |
0,2 |
0,25 |
0,33 |
0,27 |
0,46 |
0,67 |
0,69 |
0,39 |
13 |
9 |
0,09 |
0,27 |
0,15 |
0,33 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,13 |
0,17 |
0 |
0,69 |
0,75 |
0,62 |
0,36 |
14 |
6 |
0,05 |
0,36 |
0,38 |
0,17 |
0 |
0 |
0 |
0,25 |
0,19 |
0,09 |
0,38 |
0,83 |
0,38 |
0,82 |
15 |
3 |
0,32 |
0,36 |
0,46 |
0,17 |
0,33 |
0,8 |
0,4 |
0,5 |
0,34 |
0,27 |
0,31 |
0,75 |
0,54 |
0,64 |
16 |
5 |
0,32 |
0,45 |
0,62 |
0,5 |
0,33 |
0,6 |
0 |
0,63 |
0,22 |
0,27 |
0,46 |
0,42 |
0,54 |
0,73 |
17 |
7 |
0,05 |
0,09 |
0,15 |
0,17 |
0,17 |
0,2 |
0 |
0,25 |
0,1 |
0,55 |
0,77 |
0,33 |
0,38 |
0,45 |
18 |
10 |
0 |
0,55 |
0,46 |
0 |
0 |
0,2 |
0 |
0,5 |
0,22 |
0,45 |
0,46 |
0,5 |
0,46 |
0,55 |
Ср.арифм |
6,67 |
0,23 |
0,30 |
0,30 |
0,28 |
0,25 |
0,31 |
0,19 |
0,36 |
0,26 |
0,33 |
0,51 |
0,60 |
0,52 |
0,51 |
Станд.откл |
2,00 |
0,16 |
0,17 |
0,17 |
0,20 |
0,16 |
0,27 |
0,28 |
0,16 |
0,12 |
0,27 |
0,14 |
0,14 |
0,11 |
0,21 |
Рекомендуется использовать не t-критерий Стьюдента, а его непараметрический аналог U-критерий Манна-Уитни в следующих случаях:
если показатель измерен не по метрической, а по порядковой шкале,
если количество испытуемых в хотя бы одной из выборок меньше 30,
если форма распределения значимо отклоняется от нормальной.
Алгоритм U-критерия Манна-Уитни:
Сравниваемые выборки ранжируют в один общий ряд по возрастанию значений признака, однако записывают их в разные столбцы таблицы.
Каждому элементу ряда присваивают ранг – порядковый номер, указывающий его место в общем ранжированном ряду.
Отдельно для каждой выборки находят суммы рангов R1 и R2
Отдельно для каждой выборки находят величины U1 и U2
Ui = Ri – ni(ni+1)/2.
Выбирают за Uоп меньший из полученных U1 и U2
Находят по таблице (см. Приложение 2) критическое значение Uкр для принятого уровня значимости и объемов выборок n1 и n2.
При Uоп>Uкр делается вывод о том, что статистически значимых различий между выборками не выявлено; при Uоп<Uкр делается вывод о том, что выборки статистически значимо различаются по исследуемому показателю (при этом в тексте указывается значение U и уровень значимости, на котором установлены различия).
Возможности автоматизации вычислений в случае ранговых критериев ограничены, т.к. каждый показатель должен ранжироваться (упорядочиваться по возрастанию) отдельно.
Шаг1. Сначала перенесем на новый лист первый столбец из первой таблицы (самооценка), заливаем его каким-либо цветом, затем переносим такой же столбец из второй таблицы, располагаем его непосредственно ниже первого и красим в другой цвет.
Шаг 2. Для того, чтобы упорядочить значения самооценки по возрастанию, сначала выделяем их (только числа!), затем выбираем в Главном меню пункт «Сортировка и фильтр», далее «Сортировка от минимального к максимальному».
В результате значения упорядочатся по возрастанию показателя «Самооценка».
Шаг 3. Выставляем справа порядковые номера значений самооценки (набираем 1 и 2, выделяем как фрагмент и за нижний правый угол растягиваем).
Шаг 4. При помощи форматирования по образцу (желтая кисточка) копируем формат со значений самооценки на их порядковые номера.
Шаг 5. Далее порядковые номера одной из выборок (например, первой) «отодвигаем» вправо на одну ячейку. Получается два частично заполненных столбца, в каждом – свой цвет. Обозначаем их как R1 и R2.
Шаг 4.
Шаг 5.
Шаг 6.
Шаг 6. Далее высчитываем суммы по столбцам R1 и R2, пользуясь функцией суммирования и обводя весь диапазон.
Шаг 7. Вычисляем U1 и U2 по формуле, где n1 и n2 – объемы первой и второй выборок.
Шаг 7.
Шаг 8.
Шаг 8. Из двух вычисленных U выбираем меньший и сравниваем с критическим значением U сначала для р=0,05, а потом, если вычисленное U окажется меньше – с критическим значением U для p=0,01 из таблиц в Приложении 2. Критические значения находим на пересечении n1 и n2 – объемов сравниваемых выборок. В нашем примере n1=18 и n2=18. Поэтому U0,05(18;21)=99 и U0,01(18;21)=81.
Так как меньшее из вычисленных значений U1=133 больше критического U0,05(18;21)=81, то можно сделать вывод о том, что уровень самооценки у подростков и у старшеклассников статистически значимо не различается.
Вышеприведенный алгоритм вычисления U-критерия является приближенным. В статистических пакетах реализован более точный алгоритм, построенный на связанных рангах.
Шаг 9. Чтобы преобразовать наш результат в соответствии с более точным алгоритмом, нужно заменить порядковые номера у совпадающих значений показателя на средние арифметические по этим порядковым номерам:
Шаг 9.
Как видим, вычисленное значение U=108, что отличается от предыдущего значения.
Для ускорения вычислений среднего арифметического можно воспользоваться встроенной функцией СРЗНАЧ(), обводя в качестве диапазона все порядковые номера совпадающих значений.
Например, для вычисления среднего арифметического порядковых номеров значения «8» нужно установить курсор в любую свободную ячейку, вызвать функцию СРЗНАЧ() и при указании диапазона обвести все порядковые номера, соответствующие этому значению.
Далее нужно заменить все порядковые номера «8» на полученный результат 23,5.