1. Расчеты в числах

2. расчеты «в буквах»:

L = N l (длина из набора сегментов = число сегментов * длина сегмента, V = S h (объем фигуры = площадь основания * высота), m = Vρ

3. что и как получили:

(!) оценка решений: реализуемая последовательность действий при получении решения (алгоритм) без чисел и расчетов – уже много (на тройку с плюсом)

–ДНК (2 м у человека) в клетку (10–20 мкм) «как линейная» не влезает – очень длинная (в 100 000 длиннее)

–толщина мембраны 4,5 нм («головы» + «хвосты» из 14–16 групп CH₃/CH₂), тогда ее «пронизывает альфа-спираль из 30 а.о.

еще вывод:

–ДНК (двойная спираль) как инструкция («чертеж») по массе в 18 раз больше, чем белок («изделие»).

(М) обсуждали получение этого результата с очень разных позиций (и на основе различных возможных исходных данных, в частности, через плотность – продолжение этих возможностей в задачах и заданиях на основе данных ниже)

Занятие 7.

к/р №1 (см. справочные данные)

Вариант 2.

Масса белков в форме альфа-спирали и коллагеновой спирали равны. Как они отличаются:

1. по длине.

2) Пусть общее число аминокислотных остатков – 1000. Оценить объем альфа-спирали (цилиндра, на который, как можно представить, она накручена).

3) Как получилось (или как получить) решение данной задачи (какие действия и в какой последовательности Вы совершили или нужно совершить, чтобы получить ответ в данной задаче)?

Занятие 8.

разбор к/р (вариант 2) + индивидуально

Занятие 9.

Удивительный мир молекул

+ специальная техника: смотрим, что делаем (казалось бы, очень просто)

по мотивам к/р – индивидуальные предпочтения и возможности + их развитие

в этой связи (парадоксальный вывод): кому нужен данный курс – гуманитариям даже больше, чем математикам (т.к. дает больше конкурентных преимуществ в гуманитарной среде, в точных науках расчеты и интуитивный выбор занимают больше места)

мир молекул: особые свойства

–относительная проницаемость ионных каналов (странная молекулярная логика): вроде бы должна быть линейная шкала по размерам ионов (возможно, с учетом оболочки – «шубы» из молекул воды), тогда канал для более крупного иона должен быть проницаем и для всех более мелких, а реально все не так! (Д) «Биофизика», с. 380 (относительная проницаемость): 9% для K+ в Na-канале и 1% наоборот; для Li+ ((Д) кристаллографические радиусы перечисленных ионов – 0,266, 0,19 и 0,12 нм соответственно) 0,93 в Na-канале и 0,018 в K-канале.

(З) придумать механизм, который мог бы объяснить такую странную картину

–Макеев, с. 131: «Экспериментально полученные коэффициенты проницаемости разных веществ <через липидные бислойные мембраны> варьируют в пределах от 10^–12 см/с для Na⁺ до 10^–2 см/с для воды».

–(более сложный сюжет) гидрофильность/гидрофобность и симметрия для ионов

–быстрые перемещения (сотни м/с) и частые соударения 10¹³ с^–1 (помним ли само число из курса цитологии; оценка: по скорости и расстоянию частоту соударений данной молекулы с другими), но при этом стабильность структур и процессов

Характерное расстояние: 0,1 нм = 1 Ангстрем (по имени шведского физика, который начал ее использовать с 1868 г)

+ важно, что случайный (!) характер перемещений и событий – при случае (вариант: неявно)

Следствие:

при перемещениях со столь большой частотой все успевает быстро перемешиваться и очень естественно ввести концентрацию, как характеристику присутствия частиц заданного типа в любом месте объема (хотя в клетке абсолютные значения количеств малы – это часто сотни и тысячи штук, а в некоторых случаях – единичные объекты/частицы, например, ДНК)

поэтому естественно применять к большим объемам (где фактор случайности несоизмеримо слабее выражен), но мы будем применять к клетке именно потому, что там частиц относительно мало и это легко себе представить:

концентрация частиц в клетке = число штук в клетке/клетку

Занятие 10.

(продолжаем)

+ было: длина ДНК человека в миллион раз больше длины клетки

–ДНК (двойная спираль) как инструкция («чертеж») по массе в 18 раз больше, чем белок («изделие»).

добавим еще:

Реально часть, кодирующая белки, составляет малую долю длины всей ДНК в клетке (несколько процентов). Остальное, вроде бы тоже нужно – дополнение инструкции. Это значит, что инструкция чуть ли не в 1000 раз больше изделия

развитие «накрутки»: белок для репликации, продолжение: нужно успеть реплицировать не только «запись» для себя, но и все дополнительные «записи»

продолжение: получается ли, что ДНК целиком помещается в клетке или нужно обрезать (оставлять только нужную часть) задача на оценку объема и массы – см. выше

–гемоглобин (68000/4 Да на одну молекулу кислорода) как переносчик кислорода («сейф» для его транспортировки) по массе в 500 раз больше, чем масса переносимого кислорода (32)

– Николлс и др. «От нейрона к мозгу», с. 60: натриевый канал угря – 1832 а.о. (в среднем по 110 Да), т.е. масса примерно 200 000 Да для переноса иона массой 23 Да (т.е. в 10000 раз большая масса)

(!) какой-то молекулярный гигантизм

задача (на повтор предшествующей темы): оценить объем молекулы гемоглобина, принимая плотность белка равной 1,37 г/см³

комментарий: нужно многое специально организовать, чтобы в клетке все нормально происходило при таких контрастах (пока фиксируем такие контрасты, собирая более полную картину, и отчасти пользуемся ею, а затем можно будет обсуждать соответствующую специальную организацию как сложный процесс с разнообразием производительных характеристик)

Бактериофаг MS2: использование некодирующих участков генома (чтобы понимать насколько эффективно используются возможности)

(И) высокая производительность вируса – 10000 (и более) вирусных частиц (вирионов) на клетку (!) рассматриваем относительно простой процесс (после курса цитологии) – воспроизводство вируса в клетке

в чем конкретно простота:

–клетка прокариотическая

–вирус +РНК-содержащий, т.е. его геном является матрицей для синтеза его белков

–геном кодирует всего 4 белка, из которых лишь один (белок оболочки – БО) производится в больших количествах.

А именно, при получении 10000 вирионов синтезируются:

БО – 1800000 штук (180 на вирион, защита генома)

А-белок – 10000 штук (1 на вирион, «втаскивает геном вируса в клетку)

репликаза (синтез –РНК на +РНК и +РНК на –РНК) – меньше (не пакуется в вирион)

белок лизиса (разрушение клетки для выхода вирионов; кодируется со сдвигом рамки считывания) – еще меньше

Интересно, как организовано воспроизводство вируса в клетке, чтобы получить столь разное соотношение количеств белков при синтезе с одного генома

Проблема организации воспроизводства вируса – синтез белка и репликация препятствуют друг другу (идут с разных концов +РНК «навстречу друг другу»)… Поэтому синтез белков не просто нужно организовать в требуемых количественных отношениях, но и сделать так, чтобы синтез репликазы сначала произошел (для быстрого запуска воспроизводства генома и синтеза белков – через получения в нужных для синтеза количествах –РНК и +РНК), а затем прекратился. В противном случае либо медленный синтез составляющих, либо непроизводительный расход мономеров.

Иными словами, сначала синтез репликазы нужно включить «по максимуму», а затем остановить – выключить (ингибировать).

(Д) общая картина – с загадкой регуляции: синтез репликазы останавливает почему-то белок оболочки (в форме димера), хотя репликаза препятствует его синтезу (тогда при ее избытке он не синтезируется). С точки зрения этого ограничения синтез репликазы, скорее, должен останавливать дефицит БО или избыток репликазы (а не как есть – по сути, избыток БО).

Занятие 11.

бактериофаг MS2: разгадка – количественные соотношения составляющих (репликаза не может ингибировать собственный синтез, ее слишком мало в сравнении с +РНК)

Подробнее.

целесообразность для вируса:

есть продуктивная фаза, когда синтезируются основные составляющие

синтез белка (1800000 БО по 130 а.о. за 600 с при 130/30 рибосом и скорости 18 а.о./с)

1800000 130 /(600 18 130/30) =1800000 30 /(600 18) = 5000 +РНК

(130 сокращается) столько примерно и есть на промежуточных этапах

при 5000 130/30 = 20000 рибосом (за 10 минут или 7000, как ориентировочно есть за 30 минут), из экспериментов (Эйген со соавторами, 1991) – число рибосом может достигать 20-25 тысяч

синтез +РНК (10000 по 3569 за 600 с при 3569/100* репликаз со скоростью 50* н./с)

10000 3569 /(600 50 3569/100) = 10000 100/(600 50) = 33 –РНК

(3569 сокращается) при 33 3569/100* = 1000 репликаз (или пропорционально меньше при увеличении времени синтеза), т.е. с информационной матрицы нужно +РНК

* - оценочные значения

Комментарий: получены минимально необходимые для вируса количества, но количество репликазы около 1000 штук/клетку действительно наблюдают в эксперименте, т.е. оно на порядок меньше, чем количество +РНК (синтезируется 10000 штук, из которых значительная часть используется при синтезе белка, как в оценке выше).

При таком соотношении репликаза не может ингибировать собственный синтез. Это может делать только БО – единственный белок, количество которого превосходит (причем значительно – на 2 порядка) количество +РНК, на которых необходимо ингибировать синтез репликазы как наблюдаем по факту (в соответствии с целесообразностью для вируса – чтобы не препятствовать синтезу белка, не «переводить зря» мономеры и т.д.)

Занятие 12.

к/р №2 (всегда актуален последний вопрос предшествующей контрольной)

Вариант 1.

Рибосомы кишечной палочки синтезируют белки бактериофага MS2 (после его попадания в клетку) с исходной +РНК-матрицы, на которой закодированы последовательно белок оболочки – БО (130 а.о.) и репликаза – РЕП (545 а.о.).

В благоприятных условиях скорость синтеза белка 18 а.о./с, минимальное расстояние между рибосомами – 80 п.н. После считывания 1-й молекулы БО становится возможным синтез РЕП и рибосомы «одинаково охотно» начинают синтез БО и РЕП.

1. За какое время будет синтезирована 1-я молекула БО?

2. Сколько штук БО и РЕП будет синтезировано через одну минуту?

3. В каком соотношении будут синтезированы БО и РЕП после того, как синтезирована 1-я молекула РЕП?

4. При каких условиях результаты расчета правильны?

2-е полугодие

Занятие 13.

Разбор к/р + как организована регуляция (почему димер? = переход к константам скорости и константам равновесия) + процессы в клетке (скорости и динамика), если не мешает бактериофаг

Дополняющая задача (см. также задание в конце курса): скорость синтеза белка 18 а.о./с. Общее число рибосом 7000 (или 10–20 тысяч, с запчастями для 30000 как по данным в таблице, но собираются разбираются: динамическое равновесие, которое нужно сложно отрегулировать, т.к. одновременно много разных запросов как в экономике).

(!) все регулируют молекулы (т.к. в клетке больше ничего нет), поэтому нужно понимать, как это может быть организовано и как это описывать

За какое время можно удвоить содержимое клетки?

Еще данные:

скорости синтеза ДНК и РНК,

минимальное расстояние между рибосомами на мРНК (80 нуклеотидов)

в этой связи задача: оценить размеры рибосомы по молекулярной массе

Занятие 14.

Фиксируем количества составляющих

Бактериофаг MS2

Ориентировочное соотношение синтезируемых составляющих вируса в одной клетке:

БО – 180000 шт.

+РНК и А-белок – 10000 шт.

–РНК – 1000 шт. (больше минимально необходимого при стационарном синтезе – по факту + в соответствии с более полным теоретическим обоснованием)

Репликаза – 1000 шт.

Белок лизиса – 100 шт.

Идея регуляции (как прекращения синтеза) продуктом синтеза

По факту: синтез репликазы ингибирует димер продукта, образуемый за счет слабых связей (обратимо, т.е. присоединяясь, «запрещает»/«выключает» синтез, а отсоединяясь – «разрешает» синтез)

В чем актуальность использования слабых связей: сильные связи разорвать трудно и дорого, а слабые образуются и разрываются сами (если немного подождать). Поэтому, например, выгодно сделать каждую из нитей 2-х цепочечной ДНК из прочных связей (их не нужно рвать, только копировать), а связи между ними – слабыми. Тогда для копирования нужно подождать, чтобы слабые связи разъединились и комплементарно достроить. В этом случае разрыв не требует больших затрат энергии (или почти не требует) и происходит быстро (формально совсем не требует

Более широкая тема: как описывать объединение частиц (не обязательно одинаковых), их превращения

Пусть происходит сборка белка из двух субъединиц - А и В. В результате субъединицы объединяются и образуется составная частица AB

Занятие 15.

Задача про сборку белка…

Подробно полный текст задачи. Белок состоит из двух субъединиц - А и В. Между сборкой и распадом белка на субъединицы поддерживается динамическое равновесие. Какая установится концентрация белка [AB] в клетке, если субъединицы были синтезированы в концентрации [A]₀ = 1 порций/клетку и [B]₀ = 1.5 порций/клетку, а значения констант реакции сборки и распада составляют 10³ (порций/клетку)^–1 с^–1 и 50 с^–1 соответственно?

Вариант условия или решения вспомогательной задачи в классе: определить размерности констант скорости

Смысл концентраций – количество вещества в заданном объеме, при этом объемы могут быть не только в некоторой системе единиц, но и выбранные некоторым другим (любым) способом – как получилось, как удобно, как требуют и т.д.

Сначала обсуждали, в каких единицах удобно измерять концентрации? ед./объем

Выбрали для самого широкого обозначения концентрации размерность «порции на объем» (порции/объем). Сначала хотели взять размерность «единиц/объем», но единица путается с одной штукой (порция лучше тем, что может быть из многих штук, может быть любым другим количеством, например, массой и т.д.).

Скорость превращения имеет размерность «порция на объем на время» (порция/(объем время) )

ее смысл – сколько превращений (актов, штук или количеств в другом выражении) происходит в заданном объеме за заданное время

Иллюстрация: шарики «A», «B» и «среда» (пустые), для превращения нужно, чтобы в одном месте собрались оба шарика («A» и «B») вероятность найти любой шарик в заданном месте тем больше, чем больше концентрация каждого из этих веществ

Иными словами,

скорость сборки тем больше, чем больше, чем больше концентрация [A]

+ скорость сборки тем больше, чем больше, чем больше концентрация [B]

Поэтому скорость сборки пропорциональна произведению [A] [B]

Иными словами,

v = k [A] [B], где k – коэффициент пропорциональности, его называют константой скорости.

Зачем нужны квадратные скобки в обозначениях концентраций (в чем необходимость удлинять, т.е. усложнять обозначение)?

Со скобками произведение концентраций A и B будет записано в виде [A] [B] (а без скобок AB), тогда оно не путается с [AB] – концентрацией AB (без скобок – тоже AB)

Можно подумать, в каких еще случаях используют обозначения с квадратными скобками (в обозначении размерностей величин) и зачем они нужны?

Обсуждали, почему скорость сборки не может быть v = k ([A] + [B])?

Тогда получается, что сборка происходит (скорость сборки не равна нулю), даже если нет одной из составляющей (а без любой из частиц A или B собрать частицу AB невозможно). Для сборки нужны обе составляющие!

Занятие 16.

(!) Константа скорости может иметь разные размерности.

Размерности констант скорости на примере процесса сборки белка в задаче:

– сборка («прямое» превращение, индекс «+» дальше):

A + B → AB

Для сборки

v_сборки = v₊ = k₊ [A] [B], где k₊ = k_сборки – константа скорости сборки

Тогда размерность k₊ = k _сборки – это отношение размерности скорости превращения v₊ (скорость превращения всегда имеет размерность «порция на объем на время» – порция/(объем время) ) и произведения двух концентраций – [A] и [B] (они всегда имеют размерность «порция на объем» – порция/объем)

«Вычисление» размерности:

k₊ = [скорость превращения]/[концентрация]² =

= порция/(объем время)/(порция/объем)² = (порция/объем)^–1 время^–1

– разборка («обратное» превращение, индекс «–» дальше)

AB → A + B

Для разборки (обратного процесса)

v_{разборки} = v_– = k_– [AB], где k_– = k_{разборки} – константа скорости разборки

Размерность k_– = k_{разборки} – это отношение размерности скорости превращения v_– (скорость превращения всегда имеет размерность «порция на объем на время» – порция/(объем время) ) и произведения одной концентраций – [AB] (концентрация всегда имеет размерность «порция на объем» – порция/объем)

Аналогично «вычисление» размерности:

k_– = [скорость превращения]/[концентрация] =

= порция/(объем время)/(порция/объем) = время^–1

весь процесс A + B  AB

– в равновесии скорости прямого (сборки) и обратного (разборки) процессов равны

v₊ = k₊ [A] [B] = v_– = k_– [AB]

Тогда можно сгруппировать в одной части уравнения константы скорости, а в другой – концентрации.

K = k₊/k_– = [AB]/( [A] [B]),

где K = k₊/k_– = k_сборки/k_{разборки} – константа равновесия.

Резюме.

Обозначения (для краткости):

Для прямого процесса

v₊ и k₊ – скорость и константа скорости соответственно.

Для обратного процесса

v_– и k_– – скорость и константа скорости соответственно.

(!) Если считать, что процесс в прямом направлении – это разборка, то обозначения для констант скорости, выражения для скоростей поменяются на противоположные («разборка» заменит «сборку»), а константа равновесия – на обратную величину, т.е.

K = k_{разборки}/k_сборки.

Занятие 17.

Задача про сборку белка (продолжение)

Исходные данные:

A₀ = [A]₀ = 1 порций/клетку и B₀ = [B]₀ = 1.5 порций/клетку; значения констант реакции сборки и распада (разборки) составляют 10³ (порций/ клетку)^–1 с^–1 и 50 с^–1

Начальная скорость сборки

v₊₀ = k₊ A₀ B₀ = 1500 порций клетку^–1 с^–1

(К) такие обозначения концентраций с индексами уже позволяют не путать произведение концентраций исходных веществ (субъединиц A₀ и B₀) с концентрацией собранного вещества (для него начальное значение AB₀ = [AB]₀ = 0), поэтому обозначения в таких случаях можно упростить, опуская квадратные скобки

Через одну секунду при такой скорости (если бы она не изменялась) будет превращена концентрация 1500 порций/клетку, а это невозможно, т.к. исходно есть только 1 порция/клетку вещества A.

Из такой оценки ясно, что скорость быстро изменяется по ходу превращения, поэтому при расчетах изменения концентраций в кинетике нужно брать гораздо более мелкие интервалы времени (уменьшить интервал даже в 1500 раз – это еще мало!).

Скорость очень большая, поэтому превращение произойдет очень быстро (кинетика интересна, но ее трудно измерять, практически измерить не успеем с обычными средствами регистрации – типа секундомера).

Поэтому интересно, что будет в результате. А поскольку происходят и прямой, и обратный процесс, то результат – это когда прямая и обратная скорости сравняются (установится равновесие).

Можно попробовать понять, что будет, когда сравняются скорости прямого и обратного превращения, а именно, при каких концентрациях это произойдет.

(М) взять какую-то концентрацию (дальше опускаем размерности для краткости) и посмотреть, чему равны скорости. Используем также, что изменения концентраций A и B одинаковы, а концентрация AB увеличивается на столько же, насколько уменьшаются эти концентрации

Тогда будет более ясно, получаем ориентиры:

1) взяли концентрацию A как половину от исходной, т.е. [A] = ½ = 0,5 и выяснили, что различие скоростей при такой концентрации еще очень велико. Это значит, что после достижения этой концентрации сборка будет происходить дальше;

2) поскольку различие велико, то взяли 1/10 от исходной, т.е. [A] = 0,1. Различие скоростей значительно меньше

v₊ = k₊ [A] [B] = 1000 0,1 0,6 = 60, а v_– = k_– [AB] = 50 0,9 = 45

(М) берем значения, которые удобно подставлять (можно было бы брать «некруглые», например, но тогда считать неудобно и результат громоздкий, а можно ли округлять, пока/еще непонятно)

Еще один подход, учитывая, что концентрация A мала

(М) идея малости: считаем, что в равновесии концентрация A мала в сравнении с 1 и 0,5. Тогда пренебрегаем ею в сравнении со значениями концентраций B и AB в выражениях для скоростей, т.е. считаем, что v+ = 1000 0,5 [A] = 50

В результате получаем ориентировочное (приближенное) значение [A] = 1/10

Оно случайно совпало со вторым значением концентрации, которое брали, просто перебирая, но даже удобно – не нужно считать еще раз.

Удобство/сила этого подхода (учет малости) – в том, что сразу оказываемся близко к решению, а затем можно уточнить, если учесть ожидаемую малость отклонения полученного приближенного решения от точного решения (еще обсудим дальше).

Занятие 18.

к/р №3а (выражения для скорости и размерности)

Вариант 1.

1. Какую размерность имеет константа скорости для превращения с 3-мя одновременно взаимодействующими участниками

A + B + C  2D

Концентрации веществ A, B, C и D – в порциях/объем.

2. Записать выражение для скорости превращения в обратном направлении.

Вариант 2.

1. Записать выражение для скорости превращения

A + B→ AB

2. Какую размерность имеет константа скорости для превращения, если концентрации измерять в г/л (граммах на литр)?

По просьбе школьников:

Разбор к/р (на примере реакции A + B + C + D  3E, концентрации в порциях/объем или г/л)

Занятие 19.

Занимаемся математикой (алгеброй с размерностями и выражениями для скоростей и вычислениями скоростей и концентраций), химией (т.к. обсуждаем превращения), физикой (по статистическому смыслу молекулярных процессов), биологией (обсуждаем биологические процессы) и шире – идеи производства, воспроизводства, рациональной организации обсуждения и вычислений…

Продолжаем решать задачу про сборку белка

Вспоминаем: была вычислена начальная скорость и выяснили, что через одну секунду при такой скорости будет невозможная концентрация (концентрации ограничены начальными значениями)

Идея: можно взять интервал времени, который значительно меньше (нужно, чтобы был меньше хотя бы в 1500 раз, а лучше взять меньше еще в разы или в десятки раз), и посмотреть, что будет, исходя из значения начальной скорости. Вычисляем изменение концентрации через выбранный малый интервал, потом вычисляем новое (изменившееся) значение скорости. Потом снова концентрация и снова скорость. И т.д.

Другой подход: что будет, когда концентрация изменилась по сравнению с начальной и стала другой (некоторой заданной).

Например, пусть концентрация вещества A уменьшилась в 2 раза.

Что при этом стало с другими концентрациями (вспоминаем, что было на предшествующем занятии и как должно быть)?

Обсуждались варианты:

–тоже уменьшилась в 2 раза

–уменьшилась настолько же

Как выяснили, какой вариант правильно выбрать: приняли, что порция A – 4 штуки, а порция B – 6 штук. Тогда при уменьшении A в 2 раза будет по 2 штуки A и B в составе белка AB.

Занятие 20.

Задача про сборку белка (продолжение и повтор предшествующего – занятия 18)

Общая логика:

Взяли значение одной из концентраций и выяснили, каковы скорости в прямом направлении и в обратном направлении

Следующий вопрос: куда идет процесс (какой процесс идет быстрее/что происходит – сборка или разборка)?

Выяснили что сборка (и различие очень большое), тогда концентрация уменьшается дальше и вроде бы, будет изменяться существенно.

Поэтому другое значение взяли как значительно уменьшенное

Скорости различаются и можно было проверить еще какое-то значение концентрации. Так подбирать, чтобы совпало можно, но долго.

Еще одна идея: скорость сборки изначально абсолютно велика и велика при значительном превращении (как ясно исходно и видно из расчета).

Поэтому можно предположить, что почти весь запас частиц перейдет в собранный белок. В таком случае оставшаяся часть мала, а если так, то можно оценить, рассматривая как малое значение. Тогда можно им пренебречь как слагаемым в множителях, но нельзя как множителем (единственным слагаемым в множителе).

Получаем приближенное значение, которое случайно совпало с выбранным при предшествующей оценке.

Различие оценки и равновесного значения предположительно мало, поэтому можно уточнить, снова используя малость (но уже этого отличия).

Занятие 21.

к/р №3б (начальная скорость, промежуточные значения концентраций и равновесие)

Вариант 1.

Для превращения

A + B + C  ABC

начальные концентрации [A]₀ = 1 порция/клетку и [B]₀= 1.5 порции/клетку, [C]₀ = 2 порции/клетку, [ABC]₀ = 0, а значения констант реакции сборки и распада соответственно составляют 10² (порции/клетку)^–2 с^–1 и 50 с^–1

Правильно ли указаны размерности констант скорости (исправьте, если есть ошибка)?

1. Какими будут начальные скорости сборки и распада?

2. Какими будут скорости сборки и распада, когда концентрация вещества станет равна [A]₀ = 0,6 порции/клетку?

3. Можно ли сделать какие-то предположения о концентрациях веществ в равновесии?

Занятие 22.

По смыслу происходящего (механизма превращения): изменение количества вещества A равно изменению B (т.к. соединяется по одной частице), а для вещества AB изменение имеет противоположный знак – если A и B объединяются, уменьшаясь, то количество AB возрастает и наоборот.

Вариант подстраховки при математическом описании происходящего – через приращения, а другой через разделение концентраций участников мысленно или визуально на шарики (или дольки) равного количества.

Одна порция на клетку может быть представлена как 10 шариков (или долек) по 0,1. Тогда 2 порции на клетку – это 20 таких шариков (долек). Тогда вещества B исходно 15 шариков (или долек) по 0,1.

Важно, что дольки равные, тогда при образовании соединения AB одновременно уходит по одному шарику A и B, и образуется одни шарик AB (а если образуется 2 частицы, как на контрольной работе, то тогда образуются 2 шарика).

Еще один способ выразить связь математически – представляя изменение

(О) изменение величины = конечное значение – начальное значение

Для веществ при сборке: конечное значение = начальное значение + изменение величины которое отрицательно по знаку для исходных веществ (их концентрации уменьшаются) и положительно для образуемого вещества или веществ (их концентрации увеличиваются).

Обозначаем: ∆ – изменение концентрации вещества A, таким же будет изменение концентрации вещества B, а для вещества AB изменение будет иметь противоположный знак (и равным по величине).

Тогда если обозначить конечное значение концентрацию вещества «A» за y (для краткости), то

∆ = y – A₀,

∆ = [B] – B₀, тогда [B] = B₀ + ∆ = y + B₀ – A₀,

∆ = AB₀ – [AB], [AB] = AB₀ – ∆ = AB₀ + A₀ – y,

(И) полезно обратить внимание на то, что значение ∆ отрицательно (т.к. y меньше A₀).

Занятие 23.

На предшествующем занятии получили выражение для всех концентраций (в порциях на клетку) через концентрацию вещества «A», которую обозначили за y:

[A] = y

[B] = y + 0,5 (можно проверить независимо: количество было на 0,5 больше, такое различие и останется)

[AB] = 1 – y (можно проверить независимо: в сумме [A] + [AB] = A₀ = 1; аналогично можно проверить по веществу B)

У участников были сложности на к/р и при обсуждении, есть универсальный подход к их решению. Важно разделить действия на части (последовательность действий на этапы) и понять где проблемы

По сути, это подход гуманитарный, так действуют в психологии (решают психологические проблемы), хотя похоже на математику – выстраиваем логическую цепочку (в этом наука едина). Сначала нужно осознать само наличие проблемы, это уже существенное продвижение вперед. Если осознали, что есть, нужно понять, к чему относится и в чем выражается

(К)

В чем сложность и почему обсуждаем разные способы выразить концентрации: во-первых, есть суть (механизм) взаимодействия, описываемый вероятностями для частиц оказаться рядом (отсюда зависимость скорости от произведения концентраций), а во-вторых, есть выражение эффекта как изменения концентраций.

Кроме того (в-третьих), после того, как написаны уравнения (получена математическая задача), важно уметь их решить.

Пока действия не разделены на этапы, сложно понять, в чем проблема.

Когда разделили, проблемы можно отнести к одному из этапов или определить ее по отношению к ним в целом. Тогда легче понять самостоятельно, что именно вызывает трудности, или можно обсуждать это с другими.

Очень важна подстраховка на каждом из этих трех шагов к пониманию происходящего.

Мы сейчас это обсудили еще один вариант подстраховки, на предшествующем занятии их было два – один через приращения, а другой через разделение концентраций участников мысленно или визуально на шарики (или дольки) равного количество.

Можно всегда стараться придумывать еще какие-то способы (картинка, график, формула и т.д.), пока не будет ощущения надежности.

(!) важно, чтобы разные способы давали одинаковый результат, иначе где-то ошиблись

По первым двум этапам с данной задачей, вроде бы, разобрались. Теперь решаем задачу математически (как алгебраическую, раньше обсуждали в численном виде или смешанном – неизвестная как алгебраическая, остальные величины в числах)

Тогда для y (как неизвестной концентрации в равновесии) можно написать уравнение

20 (0,5 + y) y = 1 – y,

Остается его решить.

Рассматривали в 1-м приближении, считая, что y мало в сравнении с 0,5 и 1. Тогда получили исходное значение y в 1-м приближении: y = y⁽¹⁾ = 2/20 = 1/10 = 0,1.

Второе приближение: считаем, что y = y⁽¹⁾ + y⁽²⁾, где y⁽²⁾ – поправка к во 2-м приближении, предполагая, что y⁽²⁾ мало в сравнении с y⁽¹⁾.

Тогда

20 (0,5 + y⁽¹⁾) (y⁽¹⁾ + y⁽²⁾) = 1 – y⁽¹⁾

Подставляя значение y⁽¹⁾ = 0,1, получим, что 0,1 + y⁽²⁾) = 0,9/(20 0,6) = 3/40. Это и есть уточненное значение неизвестной. При этом значение y⁽²⁾ = –1/40 (т.е. отрицательно).

Мы все ближе к точному решению, но важно понять, когда надо остановиться (может быть уже хватит).

Можно уточнить решение иначе. А именно, значения правой и левой части в зависимости от неизвестной y можно представить таблицей, затем представляя на графике точки правой и левой части («крестики» и «нолики»). Как подсказывает расчет, строить нужно вблизи рассчитанного значения (например, в диапазоне от 0 до 0,2).

(М) выбирали «круглые» значения, как удобные для расчета: 0, 0,1, 0,2 (можно добавить еще точки 0,05 и 0,15)

Если построить «правую часть», то видно, что это прямая. Вторая зависимость – это также почти прямая в рассматриваемом диапазоне (сказывается, что 0,5 + y мало отличается от 0,5).

Это можно увидеть и из таблицы, но визуально гораздо удобнее – визуальное распознавание очень эффективно (подумайте почему?), стоит этим пользоваться (уже пользовались на экспериментальной математике).

Если построить график, то рассчитанное значение визуально уже почти не отличается от точки пересечения. При этом мы значительно увеличили масштаб в сравнении с вариантом, когда масштаб – это полное изменение концентрации A, т.е. единица.

Обобщения.

(!)

Преимущества идеи малости: сразу попали во 2-е значение, которое при переборе было выбрано случайно. Можем уточнить, снова учитывая ожидаемую малость (но надо будет проверить, что действительно окажется малым).

(М) можно решить уравнения графически, учитывая, что знаем, где будет искомое значение (точность определяет размер рисунка, поэтому можно строить только вблизи ожидаемого значения, т.е. крупно): выражаем правую и левую часть от концентрации вещества и на доске по точкам строим значения, соединяя их и находя пересечение

= геометрическая интерпретация

Реально использовали 4 метода:

1. обсуждали изменения концентраций в кинетике;

2. перебирали концентрации (как согласованные) для понимания направления происходящего как изменения концентраций;

3. рассчитывали концентрации в равновесии, используя малость (а можно было бы проводить перебор, но тогда дольше);

4. решали графически

(И) разными методами помогаем себе и они помогают друг другу: не пришлось вычислять значение (проверку дала оценка при простом переборе), сразу строим график в более крупном масштабе и т.д.

+ можно проверять расчет одним способом с помощью другого (или других)

= система с дублированием и надежностью

(И) аналогия с единоборствами – система, которая позволяет защитить в любых ситуациях (способ или комбинацию подбираем в зависимости от ситуации)

+ можно вспомнить 8 способов решения задачи «про бабушку и внучку в противогазах» в спецкурсе по экспериментальной математике

Занятие 24.

Обсуждение превращений и регуляции (в частности, у бактериофага) еще продолжим (будем вспоминать и продолжать предшествующую превращений в связи с молекулярной регуляцией в 8-м классе), а пока возьмем шире (несмотря на это или благодаря этому следующая тема окажется/будет даже более простая)

Какие еще процессы в клетке происходят по схеме с соединением за счет слабых связей?

(П) сборка двух частиц в одну – начало синтеза белка, точнее, соединение одной субъединицы (какой, интересно ли вспомнить цитологию?) с мРНК, а затем присоединение к ним другой субъединицы

Подходит ли соединение 2-х цепей ДНК?

Не подходит (по факту происходит не так, хотя формально могло бы происходить, тогда расход соединяемых цепей и количество соединенных пар как по уравнениям выше), так было бы нецелесообразно: слишком долго соединять, если синтезировать сначала цепи целиком. Поэтому механизм другой: дочерняя цепь наращивается по мономеру, а материнская используется для контроля, соединяясь с дочерней.

Но такая же схема (что и для сборки за счет слабых связей) описывает каждый этап: исходная цепь + мономер → цепь длиннее на один мономер (точнее, мономерный остаток, почему?).

+ разрыв и соединение: какая схема описывает? (другая: один объект превращается в один – а не два)

Для образования более прочных связей – тот же механизм и те же уравнения.

Все процессы в клетке и живом организме идут через такие промежуточные этапы

Иными словами, схема очень универсальная, поэтому важно уметь ее использовать – писать уравнения, проводить расчеты, понимать их смысл и смысл происходящего.

(П) сборка трех частиц в одну (как в одном из вариантов к/р) – полный комплекс для синтеза белка (но происходит с промежуточными этапами)

Еще варианты сложной сборки на молекулярном уровне

(П) сборка в рибосому как целое

(П) сборка составляющих малой субъединицы рибосомы (или большой субъединицы)

(П) сборка микротрубочки (а разборка в обратном направлении)

(П) сборка нити актина

Какие еще процессы (соединения за счет слабых связей или подобного типа) можно вспомнить?

Все это производство, но много этапов, по сути, мы начали рассматривать «маленький кусочек» – один этап.

Универсальная идея (если схема простая или очень сложная): можно рассматривать результирующие уравнения.

Пример результирующего уравнения

На цитологии обсуждали производство энергии из химических веществ (дыхание) = производство в одну сторону, и производство углеводов (химических веществ) из углекислого газа и воды = производство в другую (противоположную) сторону.

Можно представить результат уравнением (справочные данные)

Таблица. Продукция тепла, потребление кислорода…

Как можно измерять энергопотребление организма? (по кислородному газообмену, рассматриваем фото попугайчика в аэродинамической трубе из ФЖ, с. 288)

Что находится в горбах у верблюда?

Занятие 25.

Обсуждали превращения в клетке как результат многих этапов – типа задачи про сборку белка (больше в клетке ничего не происходит! Но это не значит, что мы должны представить всё таким образом, мы можем это сделать, если хотим или нам нужно)

Вспоминаем такие процессы вместе с Окштейном…

Обобщение (как идея): длинные цепочки – разрезаем сложные процессы на этапы

Еще одно возможное направление обсуждения:

Обсуждали превращения в клетке как много этапов

Обобщение: типы соединения, превращения и распада. Если задан тип, какие могут быть различия? (разные или одинаковые, число частиц)

Д/з: нарисовать для какого-либо процесса (для какого сложно, можно ли для процессов по книжке Окштейна?)

Обобщение:

(М) разрезание на задачи

(П) резать на задачи курс зоологии (!) не надо их сразу решать

Образ: готовить блюда/десерт для дальнейшего (с Окштейном будем разрезать весь курс зоологии + продолжать дальше)

(Г) тогда используется другая память, чем просто для запоминания, и другая эффективность (!) важно научиться такую память активировать вместе с запоминанием

Еще одно обобщение (в связи с обсуждением разрезания на этапы решения в задаче про сборку белка):

1. механизм (вероятностный/статистический), поэтому выражение для скорости прямого превращения и обратного превращения

2. баланс

3. математическое уравнение (каким будет конечное состояние)

(И) если механизм другой (например, собирает молекулярный робот, беря частицы из коробки), баланс будет тот же. Но конечное состояние может оказаться другим (в зависимости от механизма), например, если сборка кончается, когда в коробке кончаются частицы, то каким будет конечное состояние?

Зачем множеством способов обсуждаем одну тему или задачу? взаимодополнение и взаимозаменяемость для надежности и подстраховки, тогда будет уверенность в себе

Образ (аналогия с защитными системами организма, иммунитетом и т.п.): осваиваем набор инструментов, еще аналогия – единоборства как разные системы инструментов защиты себя и/или нападения (развитие/обобщение: качественно однородная устойчивость)

Обобщение: сквозные балансы (как по уравнению дыхания)

Что надо добавить в уравнение баланса для дыхания, если превращается белок?

Смотрим на графики и представляем в форме таблицы или формулы:

ФЖ, с. 270 (таблица), с. 272 (график); ОЖ, с. 126

–потребление организма в покое (основной обмен) в зависимости от массы – теплокровные и холоднокровные (ФЖ, с. 274; ОЖ, с. 123)

(!) там есть и одноклеточные, но для них большой разброс

(М) дробная масса – через табличку в справочных данных (выдаваемых на уроке и на контрольной), тогда можно определять потребности

–затраты на движение (ФЖ, с. 290; ОЖ, с. 76, с. 74, подробнее – с. 72)

–линейные (обмен легких, ФЖ, с. 281; объем легких, ОЖ, с. 131, в более полной таблице – найти или предложить еще)

+аллометрические зависимости в справочных данных от греч. allos – иной, другой

(К) «негативное» определение, по сути, «неравномерные» зависимости (аллометрия – неравномерный рост…, БСЭ, т. 1, с. 448), т.е. те, которые не являются привычными линейными

Следствие: два организма потребляют больше, чем один с такой же суммарной массой

Занятие 26.

Идея баланса ­– аналогия с бюджетом школьника (на что потратить карманные или заработанные/призовые деньги), семьи или государства

Еще примеры баланса, которые уже были

(П) баланс рибосом: все рибосомы клетки = рибосомы на +РНК вируса + другие (включают работающие на синтез белков клетки + неактивные + разобранные)

(П) баланс частиц в разной форме в задаче о сборке белка из субъединиц A₀ = [A] + [AB]

(П) экзотический пример из экспериментальной математики прошлого года (или из задач по математике или по физике): расстояние, которое «потребляют» участники движения навстречу друг другу (как бабушка и внучка в противогазах в задаче Маши и Маруси)

(П) в курсе физики: сохранение энергии (кинетическая + потенциальная + потери на трение)

(!) ограничения баланса и экономия очень важны для понимания организации жизнедеятельности

(П) перелетная птица

Баланс в данном случае:

все затраты (их должен обеспечить запас) = текущие + покой

В форме какого вещества выгоднее всего иметь запас (в зависимости от выбора энергетический эквивалент единицы массы запаса ɛ по табличке – для жиров, белков или углеводов)?

(М)

–все затраты – оцениваем запас как некоторую долю (a) массы птицы, например, 30% от общей массы. Тогда запас в количественном выражении – это a m ɛ

–текущие затраты (при движении) – по формуле затрат на движение q m l, l – расстояние, для полета q = q(m) = 0,9 m^-5/18 ккал • кг^–1 • км^–1

–покой – затраты определяем по формуле I₀ t с учетом времени перелета t

В результате баланс

a m ɛ = q m l + I₀ t

(Г) последние предположительно малы с учетом того, что активность при полете велика в сравнении с покоем: летать трудно при обычной большой скорости, для сравнения: трудно бегать даже с гораздо меньшей скоростью (хотя затраты на полет меньше, чем на бег – обсуждали + в справочных данных; сюжет для обдумывания и чтения ФЖ: с какими оговорками?)

= (М) малость (как в задаче про сборку белка)

Не успели на занятии

Если затраты на основной обмен малы,

a m ɛ = q m l

Тогда пролетаемое расстояние l = a ɛ/ q. Оно зависит от массы птицы, т.к. от нее зависит величина q (затраты на полет).

Д/з: можно проверить, что затраты на основной обмен малы, например, для массы птицы 1 кг («удобная» масса: 1 в любой степени равен 1)

Занятие 27.

к/р №4 (энергетический баланс организма)

Вариант 2.

Минимальные размеры тела известных теплокровных животных около 2 см. В Италии обнаружили вид мышей несколько меньшего размера. Доставка этих мышей из ловушек в лабораторию занимала 2-3 часа. Оказалось, что за это время многие животные погибали. Возможно ли, что они погибали от голода?

Какие животные (крупные или мелкие) могут голодать дольше и почему?

Резюме к контрольной.

Вспоминаем, что энергопотребление организмов зависит от их массы (аллометрическое уравнение для теплокровных I₀ = 0,7 m^3/4 л О₂/ч).

Для организма меньшей массы энергопотребление на единицу массы выше. Поэтому организмы малой массы способны голодать более короткое время (в сравнении с организмами большой массы), если запасы питательных веществ составляют одну и ту же долю всей массы. Иначе: запас (при заданной доле питательных веществ) растет пропорционально массе, а потребление растет медленнее, чем масса (показатель ¾ меньше, чем 1).

Занятие 28.

Вспоминаем и более подробно мотивируем рассуждения (на уроке биологии неделю назад) в связи с обоснованием теплокровности птиц как необходимым приспособлением к полету:

(Д) Картинка из ФЖ с попугайчиком и зависимостью энергопотребления от скорости: «выгодная» скорость, при которой малы затраты на полет – 30–40 км/ч

(Д) зависимость потребления О₂ волнистым попугайчиком от скорости полета приведена в таблице:

(i) Потребление О2, л кг–1ч–1	33	28,2	23,5	22,5	26	35
(v) Скорость, км/ч	18,5	24	27,8	34,5	42,3	47,5

(И) сравнить скорости по отношению расстояния к затратам.

Д/з: при какой скорости цена полета на заданное расстояние будет минимальной?

Затраты энергии на полет при малых скоростях велики (трудно висеть в воздухе).

Для сравнения: при беге и плавании малые скорости требуют малых затрат.

Поэтому полет неизбежно требует больших затрат. А энергопотребление в покое (основной обмен) не может более, чем в 20-30 раз отличаться от максимального энергопотребления (при полёте), иначе невозможно организовать дыхание и кровообращение. Поэтому специализация крупных организмов к полету означает теплокровность. Такая адаптация одновременно обеспечивает и требуемое высокое энергопотребление при полете (при увеличении температуры мышц и организма по сравнению со средой значительно возрастают развиваемая мощность и сила организма).

Наоборот, для летающих насекомых наблюдается различие по энергопотреблению между основным обменом и полётом в сотни раз, это обеспечивает транспорт кислорода по трахейной системе на относительно малые расстояния. Для крупных организмов повышение энергопотребления в сто раз возможно, но только кратковременно в анаэробном режиме. (И) сюжет про птеродактиля

Иллюстрация: расчет для массы 1 кг (1 в любой степени равен 1): затраты на полет – 0,9 ккал/(кг км).

При скорости 40 км/ч они дают вклад в энергопотребление 36 ккал/(кг ч), т.е. для организма массы 1кг – это 36 ккал/ч

При этой же массе 1 кг основной обмен для теплокровных 0,7 л O₂/ч = 3,4 ккал/ч (т.е. в 10 раз меньше затрат на полет), а для холоднокровных – 0,04 л O₂/ч = 0,2 ккал/ч (в 200 раз меньше затрат на полет).

(!) мы вышли на критически важный рубеж: умение количественно обосновывать качественные особенности организации жизнедеятельности (как наблюдаемые или как теоретически прогнозируемые), чего не делают в классической биологии как описательной науке

= в 7-м классе учимся делать то, что не умеют делать студенты-биологи и профессионалы, работающие в биологии

Это очень перспективно, но с этим связаны и большие проблемы (в частности, поведенческие), которые мы будем решать дальше параллельно с освоением такого нового широкого класса возможностей

Еще один подобный сюжет для обдумывания и анализа (вдогонку курсу зоологии):

(П) задание ниже – задача про каннибализм из олимпиады

(М) вспомнить, как объяснялось на уроке, получить численные значения и попробовать их соотнести