Производственная функция

В модели Солоу, рассматривается неоклассическая производственная функция , где - капитал, - труд, - переменная, отражающая эффективность труда одного работника, зависящая от квалификации, образования и здоровья работника. Переменная E отражает трудосберегающий технический прогресс и рассматривается всегда вместе с объемом трудовых ресурсов , а именно рассматривается комплексный фактор - количество работников с постоянной эффективностью труда. Рост этого фактора может происходить либо за счет роста количества работников с фиксированной эффективностью, либо ростом эффективности с фиксированным количеством работников. Таким образом, в модели Солоу производственная функция имеет вид:

причем с учетом свойства линейной однородности (постоянной отдачи от масштаба) ее можно записать в удельных переменных (на единицу труда с постоянной эффективностью):

или

где y и k - соответственно производительность и капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью.

Примером такой функции является функция Кобба-Дугласа с постоянной отдачей от масштаба:

или

Сущность модели

Доход расходуется на потребление и инвестиции, соответственно тождество дохода , или в удельном выражении на единицу труда с постоянной эффективностью - . Инвестиции равны сбережениям или на единицу трудовых ресурсов , где - норма сбережений. Предполагается постоянный темп износа капитала и соответственно модель динамики капитала имеет вид:

или в удельном представлении:

С другой стороны, учитывая, что по определению имеем:

Следовательно, можно записать окончательно базовое дифференциальное уравнение модели Солоу:

где - темп роста населения (работников); - темп технического прогресса;

Таким образом, если инвестиции меньше необходимого уровня , учитывающего рост населения и износ капитала и технический прогресс, то капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью падает и наоборот. Равновесный уровень определяется исходя из условия стабильности , то есть . Соответственно условие стационарности следующее (совпадение фактических и необходимых инвестиций):

В модели Солоу в стационарном состоянии темп роста производительности труда равен темпу технического прогресса, а темп экономического роста - сумме темпа технического прогресса и темпа роста населения.

При росте нормы сбережений инвестиции начинают превышать необходимый уровень и начинает расти до достижения равновесия при более высоком уровне . В процессе перехода к новому стационарному состоянию темп роста производительности труда будет опережать темп технического прогресса и при достижении нового равновесия они приравняются.

Золотое правило

Модель Солоу позволяет определить оптимальный уровень нормы сбережений, при котором достигается максимальное (удельное) потребление. По определению удельное потребление равно . В стационарном (равновесном) состоянии , поэтому окончательно функция удельного потребления в стационарном состоянии имеет вид

С учетом, того, что зависит от нормы сбережения условие максимума удельного потребления по примет вид:

Отсюда

С другой стороны, как уже отмечалось в стационарном состоянии

Учитывая эти два условия оптимума получим или

где - параметр однородной производственной функции Кобба-Дугласа. То есть норма сбережения должна быть равна показателю эластичности удельного выпуска по капиталовооруженности.

Если экономика находится на уровне ниже уровня "золотого правила", то необходимый для перехода к "золотому правилу" рост нормы сбережений на первоначальном этапе приводит к еще большему падению потребления, однако в будущем потребление будет гораздо больше. Отношение к такому развитию событий зависит от предпочтений текущего или будущего потребления.