Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число  , что если  x  находится в интервале ( a  a  ), то значение функции лежит в интервале ( L  ,  L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

12. Свойства предела функции

1. Если функция f заданная на множестве Х имеет конечный предел в точке х₀, тогда найдется окрестность U этой точки, такая, что функция f будет ограничена на пересечении U и Х.

2. Если функция f заданная на множестве Х имеет конечный и не равный 0 предел а в точке х₀, тогда найдется окрестность U этой точки и положительное число c, такие, что при a > 0 на пересечении верно f(x) > c ; а при a < 0 на пересечении U и Х верно f(x) < – c.

3. Если f(x) = C для всех x, тогда предел этой функции равен C. Если f(x)  C для всех x, тогда предел этой функции больше или равен C.

4. Если g(x)  f(x)  h(x) и пределы функций g и <h в точке х₀ равны между собой и равны a, то предел f(x) в этой точке также равен a.

5. Если у функцийg(x) и f(x) существуют пределы, равные a и b соответственно, тогда выполняются следующие арифметические свойства пределов :

Именуемые пределом линейной комбинации (суммы), пределом произведения и пределом отношения.

6. Для вычисления предела суперпозиции функций g(f(x)) нужно вычислить предел , а затем нужно вычислить предел g(x) при условии, что x  a.

13. Односторонний предел Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема:

Если существуют и , причем , то существует и . Обратное утверждение также верно.

В случае, если , то предел не существует.

14. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→0.

П риведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что

S_ΔOAC <S_сект.OAC <S_ΔOBC.

Так как указанные площади соответственно равны

S_ΔOAC=0,5∙OC∙OA∙sinα=0,5sinα,S_сект.OAC=0,5∙OC²∙α=0,5α,S_ΔOBC=0,5∙OC∙BC=0,5tgα.

Следовательно,

sin α < α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0:

.

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что .

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

17. функция непрерывная заданная в точке

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

18. критерий непрерывности и виды разрывов

Функции f(x), непрерывна в точке , если

Графически же непрерывность функции y = f(x) означает непрерывность ее графика как линии на плоскости Oxy.

Имеет место следующая теорема (критерий непрерывности).

Теорема. Функция f(x), непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

Как видно из рис. 13, в точке x₀ разрыва функции f(x) ее левая "половина графика" не соединяется с "правой половиной", т.е. график "разорвался", а поэтому f(x) в точке x₀ имеет разрыв.

Классификация точек разрыва

Пусть x₀ - точка разрыва функции f(x), , тогда имеют место следующие типы разрывов.

1. Устранимый разрыв первого рода: если f(x₀ - x) = f(x₀ + x) ≠ f(x₀) либо f(x₀ - 0) = f(x₀ + 0) , а f(x0) не существует (рис. 14).

2. Неустранимый разрыв первого рода: если f(x₀ - 0) ≠ f(x₀ + 0) (рис. 15).

3. Разрыв второго рода: если хотя бы один из пределов f(x₀ - 0) или f(x₀ + 0) не существует или бесконечен (рис. 16, 17, 18).

19. Производная функции в фиксированной точке

Функцию называют дифференцируемой в фиксированной точке , если для всех из некоторого интервала выполнено равенство     , где функция непрерывна в точке . Число называют производной функции в точке и обозначают , т.е. .

20. дифференциал функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,                                              (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

21. Физический смысл первой и второй производный

Первая производная:

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Вторая производная:

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная f’(x) задаёт мгновенную скорость изменения значений f(x) в момент времени x в момент времени f’(x), задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений f(x).

Следовательно, третья производная - это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения,

.

24. свойства производных, доказательство

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

25. Таблица производных и доказателство

sin´x = cosx

sin´x =

воспользуемся формулой sin α – sin β = 2 sin( ) cos( ):

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin( ) cos( )

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin( ) cos( )

Подставляем это выражение в верхнее равенство:

sin´x =

sin´x =

по первому замечательному пределу

поэтому:

sin´x = cosx

26. Геометрический смысл производной и дифференциала

Производная:

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол  – это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции  в точке   имеет вид:

В этом уравнении:

– абсцисса точки касания,

– значение функции  в точке касания,

– значение производной функции  в точке касания.

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.

Дифференциал

Н а графике функции возьмем произвольную точку и дадим аргументу приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ).

Проведем касательную к кривой в точке и обозначим угол ее наклона к оси через , тогда . Из треугольника находим , т.е. .

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргумент получает приращение .

27. Вывод уравнения касательной и нормали к граффику функции

Касательная:

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀.  Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х₀.

Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х₀) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х₀)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х₀, а вместо у подставим f (х₀). Получаем равенство:

f (х₀) =f '(х₀)·х₀+b.

Отсюда b=f (х₀) - f '(х₀)·х₀. Подставляем это значение b в равенство:  y=f '(х₀)·x+b. Тогда:

y =f '(х₀)·х+f (х₀) - f '(х₀)·х₀. Упростим.

y=f (х₀)+(f '(х₀)·х - f '(х₀)·х₀)  или 

 y=f (х₀)+f '(х₀)(х - х₀).  Это и есть искомое уравнение касательной МТ.

Нормаль:

• Нормалью к графику функции в т.А называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной.

Условие перпендикулярности двух прямых

28. Доказательство производной сложной функции

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем

h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения:

Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= Δf

Тогда Δh = h(х₀ + Δх) - h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) - g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) - g(y₀) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

29. Параметрическое задание функции. Циклоида

Пусть даны два уравнения где φ, ψ – однозначные функции, определенные на отрезке [t₁, t₂]

Значению t [t₁, t₂] будут соответствовать значения x, y, при этом на координатной плоскости Oxy мы получим точку P(x, y). Когда t изменится от t₁ до t₂, точка P на координатной плоскости Oxy опишет некоторую кривую.

Определение 2. Уравнения (5) называются параметрическими уравнениями кривой, число t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (5) называется параметрическим.

Если функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x), то y является функцией от x: y=φ(Ф(x)) или y = f (x).

Определение 3. Задание функции y = f (x) при помощи уравнений (5) называется параметрическим заданием функции.

Если функция x = φ(t) не имеет обратной функции, то, исключая параметр t из уравнений (5), мы получим неявную функцию F(x, y).

ЦИКЛОИДА — плоская кривая, которую описывает фиксированная точка М, неподвижно связанная с окружностью, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Если точка М расположена на окружности, получим m—обычную циклоиду, если внутри (на рис.311 точка М') — укороченную m', если вне окружности (на рис. 311 точка М") — удлиненную циклоиду.

Циклоида находит себе применение в технике (в зубчатом зацеплении, при котором профили зубьев имеют очертания циклоидальных кривых) и теории механизмов. Параметрические уравнения циклоиды такие:

где r — радиус подвижного круга, а —расстояние точки М до центра круга, t — параметр, угол, на который повернулся круг (или его радиус) при своем качении по прямой.

30. вывод формулы нахождения производной параметрически заданной функции

Первая:

Пусть определены и дифференцируемы при , причем и имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x.

По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как и обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому .

31. Вывод производной обратной функции

Пусть  -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть  -- фиксированная точка и  -- точка, ей соответствующая. Тогда .

        Теорема 4.5   Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

        Доказательство.     Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, ; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать.     

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

если  -- функция, обратная к .

33. доказательство теоремы лагранжа

Пусть:

1. Функция непрерывна на отрезке : ;

2. Функция дифференцируема на интервале :

.

Тогда существует такая точка , что .

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию .

1. Эта функция непрерывна, т.к. , - непрерывна.

2. Данная функция имеет производную , так как для любого .

3. Значения на концах равны: , .

Эти 3 рассуждения удовлетворяют условию теоремы Ролля, следовательно, . Таким образом, , .

Формулировки теоремы:

1. Обозначая , где . ;

2. Обозначая , получаем , или . Обозначая также , получаем , где также .

Данная теорема называется также теоремой о конечных приращениях.

34. Правило лопиталя для 0/0. Виды неопределнностей

Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда

Теорема 18. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности числа a (a может равняться ∞), за исключением a.

Кроме этого, пусть .

Тогда, если

Если правило Лопиталя, примененное к функциям f, g, не приводит к раскрытию неопределенности, то можно попробовать применить правило Лопиталя к производным f', g', а если необходимо, то и к f'', g'' и т.д.

35. возрастающие и убывающие функции на интервале

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

37. точки экстремума

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

38. Необходимое условие экстремума

Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x1, x2, … , xn) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

Доказательство для функции двух переменных приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 160).

Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.

В стационарной точке   (x0, y0) функции f(x, y) существуют частные производные f'x ,   f'y   и   f'x(x0, y0) = 0 ,   f'y(x0, y0) = 0

39. достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие: 

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая  производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

     Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

     Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

     Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума,  у функции точка минимума.

б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет.

40. наибольшее наименьшее значение функции на отрезке

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-».

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции

• или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

41. выпуклая и вогнутая функции

Определение 7.5   Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

при всех .

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что

при всех .     

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций

Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .

42. Иследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.

Пусть функция  дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является выпуклым на данном интервале;

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является вогнутым на данном интервале.

На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость), а «+» – «даёт такую возможность» (вогнутость).

Необходимое условие перегиба

Если в точке  есть перегиб графика функции , то:  либо значения  не существует (разберём, читайте!).

Данная фраза подразумевает, что функция  непрерывна в точке  и в случае   – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.

Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства  (либо небытия значения  ) ещё не следует существования перегиба графика функции  в точке . Но и в той, и в другой ситуации  называют критической точкой второй производной.

Достаточное условие перегиба

Если вторая производная  при переходе через точку  меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции .  

Логично.

Точек перегиба (встретился уже пример) может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции :

Получена положительная функция-константа,  то есть для любого значения «икс» . Факты, лежащие на поверхности: парабола  вогнута на всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при  «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

Экспоненциальная функция  также вогнута на :  для любого значения «икс».

Точек перегиба у графика , разумеется, нет.

43. Асимптота и способы ее нахождения.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при .

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.