Теорема 3 (Вейерштрасс).

• Всякая возрастающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, или равный + ∞, если она неограничена сверху.

• Всякая убывающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена снизу, или равный −∞, если она неограничена снизу.

Доказательство приведено в книге Л.Д. Кудрявцева “Краткий курс математического анализа”. Т. 1 М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Стр. 81.

Сходящаяся последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

lim n → ∞ αn = 0.

Теорема 4. Если последовательности {α n} и { βn } бесконечно малые,   а {cn} — ограниченная последовательность, то последовательности

{αn ± βn},     {αn · βn},     {αn · cn}

являются бесконечно малыми.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 17.

Теорема 5. Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел, равный a, необходимо и достаточно, чтобы "n выполнялось равенство   xn = a + αn ,   где { αn } — бесконечно малая последовательность.

11. Предел функции

Предел функции. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

если для любого  > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от  , что из условия | x  a | < следует  |  f ( x ) – L | < 