Свойства функций

	y = arcsin x	y = arccos x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:	[-1; 1]	[-1; 1]
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:		[0; )
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:	нечетная	ни четная, ни нечетная
НУЛИ:	y = 0 при x = 0	y = 0 при x = 1
ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:	y > 0, при x (0; ] y < 0, при x [-1; 0)	y = 0 при x = 1 y > 0 при x [-1; 1)
ЭКСТРЕМУМЫ:	нет		нет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:	возрастает на всей области определения	убывает на всей области определения

<="" a="">

y = arcsin x	y = arccos x
функция обратная функции y = sin x, - / 2 x / 2	функция обратная функции y = cos x, 0 x

<="" a="">

Свойства функций

	y = arcsin x	y = arccos x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:	[-1; 1]	[-1; 1]
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:		[0; )
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:	нечетная	ни четная, ни нечетная
НУЛИ:	y = 0 при x = 0	y = 0 при x = 1
ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:	y > 0, при x (0; ] y < 0, при x [-1; 0)	y = 0 при x = 1 y > 0 при x [-1; 1)
ЭКСТРЕМУМЫ:	нет		нет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:	возрастает на всей области определения	убывает на всей области определения

7. Числовая последовательность и способы ее задания

Функцию y=f(x), x ε N ( Напомню, что N это натуральные числа, то есть числа от 1 до 9) называют функцией натурального аргумента или же числовой последовательностью. Её обозначают следующим образом: y=f(n) или y₁, y₂, y₃...,yn или (y_n).

   Ну а теперь давайте перейдём непосредственно к тем способам, которыми можно задать числовую последовательность.

1. Первый способ самый простой - словесный. Он используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы. Таким способом можно к примеру задать следующую последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

2. Второй способ - аналитический. Когда числовая последовательность задана формулой n-ного члена. Для наглядности я приведу три примера:

• y_n=n² Это аналитическое задание последовательности чисел: 1, 4, 9, 16, 25...,n²,... Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. К примеру нам нужно найти 10 член последовательности, значит n=10. Отсюда y₁₀=10², а значит 10 член последовательности равен 100.

• y_n=C такая формула говорит нам о последовательности, которая имеет следующий вид: C, C, C, C,... такую последовательность называют постоянной или стационарной.

• y_n=2ⁿ это аналитическое задание последовательности 2, 2², 2³, 2⁴,...

    3. Третий способ на мой взгляд самый интересный - это рекуррентный способ. Не пугайтесь этого слова, оно означает что нам даётся правило по которому можно вычислить следующие члены последовательности зная предыдущие. Заметьте, что именно правило а не формула, это очень важно! Далее я приведу три примера рекуррентного способа задания числовой последовательности.

• Арифметическая прогрессия. Я уверен. что она знакома вам ещё с восьмого класса, она задана рекуррентно соотношениями: а₁=а, а_n+1=a_n+d (Где d - разность арифметической прогрессии, a и d - заданные числа)

• Геометрическая прогрессия. Она вам тоже несомненно знакома, она рекуррентно задана соотношениями: b₁=b, b_n+1=b_n*q (Где a и q - заданные числа,  причём b≠0 и q≠0; q - знаменатель геометрической прогрессии).

• Последовательность Фибоначи. Это возможно новое для вас понятие, но эта последовательность очень проста, каждый последующий её член равен сумме двух предыдущих. Она задана рекуррентно следующими соотношениями: b₁=1, b₂=1  b_n=b_n-2+b_n-1 Приведу начало этой последовательности для наглядности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

7. Монотонная и ограниченная последовательность

Монотонная

О п р е д е л е н и е. Последовательность  называется неубывающей (невозрастающей) ,  если   справедливо неравенство

.

Если на самом деле выполняются строгие неравенства , то последовательность  называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки     , откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.

П р и м е р ы:

1)  - невозрастающая последовательность.

2) - возрастающая последовательность.

Ограниченная

Принцип Больцано-Вейерштрасса. Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последовательности (xn)n∈N назывется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается символом 

lim¯¯¯¯¯n→∞xn (lim−−−n→∞xn).

7. Предел последовательности

Число a называется пределом последовательности x1, x2 , … , x n, … , если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех xn с номерами n>N справедливо неравенство |xn − a| < ε. В этом случае пишут

lim n → ∞ xn = a   или   xn → a   (при n → ∞) .

С помощью логических символов всеобщности " и существования $ определение предела последовательности записывается следующим образом:

a = lim n → ∞ xn ЬЮ "ε > 0 $N : "n>N    |xn − a| < ε .

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

"M > 0   $N : "n > N     |xn | > M.

B этом случае пишут  

lim

n → ∞

xn   =   ∞   и говорят, что предел последовательности бесконечен.

Если   "M > 0   $N : "n > N     xn > M,   то пишут

lim

n → ∞

xn   =   +∞   и говорят, что последовательность имеет предел, равный +∞.

Если   "M < 0   $N : "n > N     xn < M,   то пишут

lim

n → ∞

xn   =   −∞   и говорят, что последовательность имеет предел, равный −∞.

Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

Теорема 1 (о единственности предела последовательности). Если предел последовательности существует, то он единственный.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 14.

Теорема 2 (об ограниченности сходящейся последовательности). Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 16.

Обратное утверждение неверно. Например, последовательнось { (−1)n-1} = { 1, −1, 1, −1, … } ограничена, но предела не имеет.