Обратная функция

 

 

Если поменять ролями аргумент и функцию, то  x  станет функцией от  y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:

 

v = u ² ,

 

где  u - аргумент, a  v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим  u  как функцию  v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через  x , а функцию – через   y,  то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

 

П р и м е р ы .  Эти функции являются обратными друг к другу:

                        

1)  sin x  и  Arcsin x,  так как, если  y = sin x,  то   x = Arcsin y;

2)  cos x  и  Arccos x,  так как, если  y = cos x,  то  x = Arccos y;

3)  tan x  и  Arctan x,  так как, если  y = tan x,  то   x = Arctan y;

4)  e^x  и  ln x,  так как, если  y = e^x ,  то  x = ln y.

5. Графики функций синуса косинуса тангенса катангенса

Y=sinx

Свойства:

1)   Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.

2)   Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два  числа.  Следовательно,   область   изменения   этой   функции определяется неравенством  —1< у < 1. При х = ^π/₂ + 2kπ функция принимает   наибольшие   значения,   равные  1,   а   при   х = — ^π/₂ + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.

3)   Функция у = sin х   является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).

4)  Функция у = sin х периодична с периодом 2π.

5)  В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она   положительна,   а   в   интервалах   π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x

6)   В интервалах   — ^π/₂ + 2nπ < х < ^π/₂  + 2nπ  функция у = sin x монотонно   возрастает,   а  в   интервалах  ^π/₂ + 2kπ < х < ^3π/₂  + 2kπ  она   монотонно убывает.

y=cosx

1) Область определения функции – множество действительных чисел.

2) Область значений функции – отрезок [–1; 1]

3) Это четная функция.

4) Это непрерывная функция.

5) Координаты точек пересечения графика:     - с осью абсцисс: (π/2 + πn; 0),     - с осью ординат: (0;1).

6) На отрезке [0; π] функция убывает, на отрезке [π; 2π] – возрастает.

7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения.     На промежутках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] функция принимает отрицательные значения.

8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn].     Промежутки убывания: [2πn; π + 2πn];

9) Точки минимума функции: π + 2πn.     Точки максимума функции: 2πn.

10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1,       наибольшее значение 1.

11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π)

y=tgx

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = π/2 + πk, где k – любое целое число.

Это означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой x = π/2, либо прямой x = 3π/2, либо прямой x = 5π/2, либо прямой x = –π/2 и т.д.

2) Область значений функции (–∞; +∞)

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция на интервале (–π/2; π/2).

5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π)

6) Функция возрастает на интервале (–π/2; π/2).

7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

y=ctgx

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = πk, где k – любое целое число.

2) Область значений функции (–∞; +∞)

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция.

5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π)

6) Функция убывает в промежутке (πk; π + πk), где k – любое целое число.

7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6. графики арксинуса арккосинуса арктангенса арккатангенса

<="" a="">

y = arcsin x	y = arccos x
функция обратная функции y = sin x, - / 2 x / 2	функция обратная функции y = cos x, 0 x

<="" a="">