9 Вопрос.

Общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z, имеет вид:

Частные случаи:

1. Если D=0, то оно принимает вид  пл-ть проходит через начало координат;

2. Если С=0, то имеем ур-ние  пл-ть параллельна оси Oz;

Если В=0, то имеем ур-ние  пл-ть параллельна оси Oу;

Если А=0, то имеем ур-ние  пл-ть параллельна оси Oх;

3. Если C=D=0, то имеем ур-ние  пл-ть проходит через ось Oz;

Если А=D=0, то имеем ур-ние  пл-ть проходит через ось Oх;

Если В=D=0, то имеем ур-ние  пл-ть проходит через ось Oу;

4. Если А=В=0, то имеем ур-ние  пл-ть параллельна пл-ти Оху;

Если В=С=0, то имеем ур-ние  пл-ть параллельна пл-ти Оуz;

Если А=С=0, то имеем ур-ние  пл-ть параллельна пл-ти Охz;

5. Если А=В=D=0, то имеем ур-ние  это ур-ние пл-ти Оху;

Если А=С=D=0, то имеем ур-ние  это ур-ние пл-ти Охz;

Если В=С=D=0, то имеем ур-ние  это ур-ние пл-ти Оуz.

10 Вопрос.

Уравнение плоскости в отрезках.

П усть пл-ть отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т.е. проходит через точки А(а,0,0), В(0,b,0) и С(0,0,с). Подставляя координаты этих точек в ур-ние, получаем:

. Раскрыв определитель и выполнив преобразования, имеем:

Уравнение плоскости, проходящей через три дванные точки.

Пусть даны три точки М₁(х₁; у₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂) и M₃(x₃; y₃; z₃), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и составим векторы: , , . Эти векторы лежат на плоскости, следовательно, они компланарны. Используя условие компланарности, получаем:

Следствия:

1. Если дана точка М₁(х₁; у₁; z₁) и два направляющих вектора и , то уравнение плоскости задается следующим образом: .

2. Если даны две точки М₁(х₁; у₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂) и направляющий вектор , то уравнение плоскости задается следующим образом: .

11 Вопрос. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка М₀(х₀;у₀;z₀) и плоскость Q своим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0. Расстояние d от точки до пл-ти находится по формуле:

Если пл-ть задана уравнением , то расстояние от точки М₀ до плоскости может быть найдено по формуле

12 Вопрос.

У гол между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям ₁ соотношением:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, т.е.

cos = cos₁.

Определим угол ₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями: , где

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: .

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

13 Вопрос. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: .

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:  .Это условие выполняется, если: .