7 Вопрос.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

8 вопрос. (Точно не уверенна, ибо без понятия, что конкретно он там имел в виду)

Каноническое уравнение. Два неколлиниарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами. Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная плоскость с заданными напрвляющими векторами.         Пусть плоскость π с направленными векторами p₁ и p₂ проходит через точку М₀. Очевидно, точка М лежит в плоскости π тогда и только тогда, когда (рис. 1) векторы  , p₁, p₂ компланарны, т.е. линейно зависимы.         С учетом условия неколлиниарности векторов p₁ и p₂ это равносильно тому, что вектор   линейно выражается через p₁ и p₂: 

       u, v ∈ R.         (5.3.1)

    Теорема 5.6. В пространстве в аффинной системе координат Oxyz уравнение плоскости π, проходящей через точки М₀(x₀, y₀, z₀), с направляющими вектороми p₁ = {m₁, n₁, k₁} и p₂ = {m₂, n₂, k₂} имеет вид 

                     (5.3.2)

       Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.2.          Уравнеие (5.3.2) называется каноническим уравнением плоскости.      Cледствие 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки  М₀(x₀, y₀, z₀), М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂), не лежащие на одной прямой, имеет вид

       Параметрическое уравнение.Так же, как для прямой, условие (5.3.1) может быть переписано в виде 

r = r₀ + up₁ + v₂,      u, v ∈ R,        (5.3.3)

или, в координатной форме, в системе координат Oxyz 

                   (5.3.4)

        Уравнения (5.3.3), (5.3.4) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах.      Теорема 5.7. Поверхность в пространстве является плоскостью тогда и только тогда, когда она является алгебраической поверхностью первого порядка.         Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.3 с той лишь разницей, что уравнение плоскости имеет вид 

Ax + By + Cz + D = 0,     где       A² + B² + C²≠ 0,        (5.3.5).

а уравнение (5.3.5) может быть записано в виде

(случаи B ≠ 0 и C ≠ 0 рассматриваются аналогично). Теорема доказана.      Уравнение (5.3.5) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор n = {A, B, С} называется вектором нормали к плоскости относительно уравнения (5.3.5).      Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты А, В, С, D отличны от нуля.      Теорема 5.8. В аффинной системе координат Oxyz в пространстве вектор а = {m, n, k}, параллелен плоскости, заданной общим уравнением (5.3.5), тогда и только тогда, когда 

Am + Bn + Сk = 0,                     (5.3.6)

    Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.4. Теорема доказана.     Замечание 3. Левые части условия (5.3.6) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали n и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, впрямоугольной декартовой системе координат вектор нормали n = {A, B, С} к плоскости (5.3.5) перпендикулярен этой плоскости.         Уравнение в отрезках. Полное уравнение (5.3.5) плоскости в пространстве может быть записано в следующем виде: 

Полагая а = - D/А, b = - D/B, c = - D/C, получим эквивалентное уравнение

,

называемое уравнением плоскости в отрезках. Числа а, b, с в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.         Векторное уравнение. 1. Параметрическое уравнение (5.3.3) представляет собой векторное уравнение плоскости в пространстве через направляющие вектора. Оно пораждает другие формы векторных уравнений плоскости. Это уравнение означает компланарность векторов r - r₀, p₁ и p₂, что согласно критерию компланарности (теорема 4.7) равносильно равенству 

( r - r₀, p₁, p₂) = 0             (5.3.7)

или, в силу линейности смешанного произведения,

(r, p₁, p₂) = D              (5.3.8)

где D − константа, равная (r₀, p₁, p₂).         2. Из аксиом геометрии следует, что в пространстве через заданную точку проходит единственная плокость, перпендикулярная заданному вектору.      Теорема 5.9. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку М₀(r₀) перпендикулярно вектору n, имеет вид 

( r - r₀, n) = 0,                     (5.3.9)

или, что то же самое,

( r, n) = D,                      (5.3.10)

где D − константа, равная (r₀, n).      Доказательство.Утверждение теоремы вытекает из того, что точка M(r) лежит на плоскости тогда итолько тогда, когда векторы   и n ортогональны. Теорема доказана.

Нормальный вектор плоскости - это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Общее уравнение плоскости вида Ах + Ву + С = 0 определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор =(A,B,C)Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.