Аналитическая геометрия.
1 Вопрос.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е.
А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
2 Вопрос.
C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
3Вопрос.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b, (1)
где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b= 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.
Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.
Уравнение прямой в отрезках.
Если
в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С
0, то, разделив на
–С, получим:
или
,
где
4Вопрос. Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки A(x0, y0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
=
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
|
x= l t+ x0 |
y= m t +y0 |
где (x0, y0) - координаты точки лежащей на прямой, {l, m} - координаты направляющего вектора прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 тоуравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
5 Вопрос.
Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x1)/m1 = (y-y1)/n1 и (x-x2)/m2 = (y-y2)/n2, вычисляется по формуле:
Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:
6 Вопрос.
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями y = kx + b с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2. (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A2x + B2y + C2 = 0, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями y = kx + b с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
Это условие может быть записано также в виде
k1k2 = -1. (
б) Если уравнения прямых заданы в общем виде A2x + B2y + C2 = 0, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства
A1A2 + B1B2 = 0.
Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений A2x + B2y + C2 = 0 Прямые A2x + B2y + C2 = 0 пересекаются в том и только в том случае, когда
