26 Вопрос.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или ( , , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов   правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:  . В случае левой тройки   смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус:  . Если  ,   и   компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и   равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

27 Вопрос.

Если векторы  ,   и   заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

28 Вопрос.

Комплексным числом называется выражение вида  , где   — действительные числа  ;   — число, квадрат которого равен минус единице  ; число обозначается  .

Числа   и   при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются    ;   — мнимая единица.

• Алгебраическая форма:

z = x + i y

• тригонометрическая форма:

z= r(cos φ + isin φ)

• Показательная форма:

z= e^i φ

29 Вопрос.

Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел   и   называется число   такое, что справедливы равенства

, то есть  .

Обозначение: .

Правило сложения: при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Вычитание комплексных чисел

Разностью чисел   и   называется число   такое, что  . Обозначение:  . Используя правило сложения, получаем для нахождения разности   равенства  .

Правило вычитания. При нахождении разности   из действительной и мнимой частей уменьшаемого  вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого:

Умножение комплексных чисел

Произведением чисел   и   называется число   такое, что выполняются равенства    . Обозначение:  .

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений   и  , как двучленов:

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что  .

Деление комплексных чисел

Частным от деления числа   на   называется число  , такое, что справедливо равенство  . Обозначение:  . Задача нахождения частного сводится к определению   и   из системы

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.

Правило деления. Чтобы разделить число   на   следует числитель и знаменатель дроби   умножить на число  , сопряженное знаменателю.