19 Вопрос.

Свойства скалярного произведения:

 =  ²;

 = 0, если  или = 0 или = 0.

 =  ;

( + ) =  +  ;

(m ) = (m ) = m(  ); m=const

20 Вопрос.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂

21 Вопрос.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам .

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов формула и формула необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство формула:

=0

условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид формула на плоскости, а в трехмерном пространстве формула.

A_xb_x+a_yb_y=0

A_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0

22 Вопрос.

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где  - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Физический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор   - сила, а вектор   есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы   относительно точки O   есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора   точки приложения силы на силу  , т. е.

23 Вопрос.

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если  или = 0 или = 0;

3) (m ) = (m ) = m(  );

4) ( + ) =  +  ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 =

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

24 Вопрос.

Векторное произведение двух векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить следующим образом:

 = =i (a_yb_z - a_zb_y) - j (a_xb_z - a_zb_x) + k (a_xb_y - a_yb_x)

a × b = {a_yb_z - a_zb_y ; a_zb_x - a_xb_z ; a_xb_y - a_yb_x}

25 Вопрос.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

и , необходимо и достаточно, чтобы они были связаны

или

Пусть даны векторы  . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Координатная форма.

=(a_xa_y),

, то вектор   имеет координаты 

для коллинеарности двух ненулевых векторов   и   на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:   или  .

Для коллинеарности двух ненулевых векторов   и   в пространстве необходимо и достаточно, чтобы   или  .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

1)Первое условие компланарности именно для трех векторов – это наличие среди трех имеющихся векторов хотя бы одного такого, который был бы нулевым.

2)Вторым условием является наличие в тройке векторов пары векторов, которые являются компланарными и делают компланарной всю тройку.

3)Третье условие компланарности логично вытекает из основного, принятым нами за условно базовое определение: линейная зависимость для тройки векторов определяет компланарность этой тройки согласно тому, что компланарность сама по себе и есть такая линейная зависимость.

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме